基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法

基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法
【技术领域】
[0001] 本发明设及基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星S轴磁力矩姿态控制方 法。
【背景技术】
[0002] 对于磁力矩姿态镇定控制系统而言，唯一的执行器是磁力矩器，其重量低于重力 梯度控制系统和飞轮控制系统的重量，使用功耗低于飞轮控制系统，而小卫星的重量和功 耗预算是非常有限的。基于该些优点，对于小卫星姿态控制系统的选择上首推磁力矩姿态 控制系统。
[0003] 控制系统受到的约束在磁力矩姿态控制系统的设计中扮演着重要的角色，由于磁 线圈只能由有限的电流来驱动，尤其是存在大姿态角度误差和大角速率信号时，执行器的 受限问题必须予W考虑；不然，控制受限将会降低实际控制系统的控制品质，甚至导致不稳 定性，造成灾难性后果。
[0004] 控制受限情形下磁力矩姿态控制系统的全局镇定问题是控制受限情形下周期系 统全局镇定问题的一个特例，所W对于后者所建立的理论可W应用到前者当中。然而，不同 于控制受限情形下的线性时不变系统的控制问题，控制受限情形下周期系统的控制问题， 特别是全局镇定问题，尚没有得到应有的重视，文献中尚无关于全局镇定问题的结论的报 道。

【发明内容】

[0005] 本发明为实现控制受限情形下的小卫星S轴磁力矩姿态控制系统的全局稳定，而 提供了基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星S轴磁力矩姿态控制方法。
[0006] 基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星S轴磁力矩姿态控制方法，它按W下 步骤实现：
[0007] 步骤一；建立控制受限小卫星S轴磁力矩姿态控制的姿态运动学与姿态动力学模 型，并得到状态空间方程；
[0008] 步骤二：求解代数Lyapunov方程的显式解P。；
[0009] A中 〇+P〇A=-护D
[0010] 其中A是系统矩阵，D是任意维数的矩阵，由于系统矩阵A是临界稳定或是 Lyapunov稳定的，保证上述代数Lyapunov方程存在正定解P。；
[0011] 步骤S;通过代数Lyapunov方程的正定解P。，设计显式的控制受限情形下的线性 反馈控制律，即设计控制受限小卫星=轴磁力矩姿态控制系统的状态反馈磁力矩姿态镇定 控制器和基于观测器的磁力矩姿态镇定控制器；通过构造显式的Lyapunov函数，保证闭环 系统的全局渐近稳定性。
[0012] 发明效果：基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星S轴磁力矩姿态控制方法。 本发明所提出的方法最显著的优点是，针对控制受限情形下的具有时变周期特性的小卫星S轴磁力矩姿态控制系统，设计者通过代数Lyapunov方程的正定解，建立显式的周期反馈 增益，设计显式的周期线性反馈控制律，通过构造显式的Lyapunov函数，保证控制受限小 卫星S轴磁力矩姿态控制系统的全局渐近稳定性。
[0013] 通过求解步骤二的代数Lyapunov方程，得到步骤S的控制受限情形下的显式周 期线性反馈控制律，并且步骤=控制器效果说明；仿真结果中，从图2中可W看出闭环系统 在8小时内成功地收敛到平衡点，比现有方法能更快地收敛到平衡点，图5展示了闭环系统 固有的非线性特征；由于控制器设计所用的模型与仿真所用的真实非线性模型有着明显的 不同，所W仿真结果还说明了利用本方法所设计的控制方案具有较好的鲁椿性。
【附图说明】
[0014] 图1是地屯、惯性坐标系和卫星参考坐标系；
[0015] 图2是姿态四元数和转速在初始误差30-deg和0.03deg/s时的变化曲线；其 中，所述上图为姿态四元数在初始误差30-deg时的变化曲线，下图为转速在初始误差 0.03deg/s时的变化曲线；
[0016] 图3是不同控制器下的姿态四元数Qi，屯，93在初始误差30-deg和0. 03deg/s时 的变化曲线；其中，所述上图为在初始误差30-deg和0.03deg/s时的变化曲线，中图为Q2 在初始误差30-deg和0. 03deg/s时的变化曲线，下图为93在初始误差30-deg和0. 03deg/ S时的变化曲线；
[0017] 图4是不同控制器下的转速在初始误差30-deg和0. 03deg/s时的变化曲线；其 中，所述上图为转速在X轴上的分量在初始误差30-deg和0. 03deg/s时的变化曲线， 中图为转速在Y轴上的分量在初始误差30-deg和0. 03deg/s时的变化曲线，下图为转 速在Z轴上的分量《,在初始误差30-deg和0. 03deg/s时的变化曲线；
[0018] 图5是控制信号在初始误差30-deg和0. 03deg/s时的变化曲线。
【具体实施方式】
【具体实施方式】 [0019] 一：本实施方式的基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星S轴 磁力矩姿态控制方法，它按W下步骤实现：
[0020] 步骤一；建立控制受限小卫星S轴磁力矩姿态控制的姿态运动学与姿态动力学模 型，并得到状态空间方程；
[0021] 步骤二：求解代数Lyapunov方程的显式解P〇;
[0022] A中 〇+P〇A=-护D
[0023] 其中A是系统矩阵，D是任意维数的矩阵，由于系统矩阵A是临界稳定或是 Lyapunov稳定的，保证上述代数Lyapunov方程存在正定解P。；
[0024] 步骤S;通过代数Lyapunov方程的正定解P。，设计显式的控制受限情形下的线性 反馈控制律，即设计控制受限小卫星=轴磁力矩姿态控制系统的状态反馈磁力矩姿态镇定 控制器和基于观测器的磁力矩姿态镇定控制器；通过构造显式的Lyapunov函数，保证闭环 系统的全局渐近稳定性。
[00巧]【具体实施方式】二；本实施方式与【具体实施方式】一不同的是；步骤一具体为：
[002引 （1)坐标系定义
[0027]引入地屯、赤道惯性坐标系X-Y-Z记作。，其中X轴指向春分点，X-Y面为地球赤道 面，Z轴沿地轴指向北极；
[0028] Fb记为卫星本体坐标系，F。为轨道坐标系，其坐标原点位于卫星的质屯、，X。沿着轨 道方向，y。垂直于轨道面，Z。是最低点方向；
[0029] 在轨道坐标系F。下描述卫星的姿态，如果卫星姿态达到期望位置，则卫星本体坐 标Xb-yb-Zb和轨道坐标X。-7。-2。完成重合；
[0030] 卫星本体坐标系Fb和轨道坐标系F。之间通过姿态矩阵W相联系
[0031]
[0032] 其中，所述q=[屯，屯，Q3,qjT是四元数，设卫星本体坐标系Fb相对于轨道坐标系 F。在X轴，Y轴和Z轴上的相对位置分量分别是X，y，Z，A，巧和巧分别表示姿态矩阵W 在=个坐标轴方向分量；
[0033] (2)建立小卫星S轴磁力矩姿态控制系统的姿态运动学与姿态动力学模型
[0034] 小卫星的姿态运动学模型：
[003引其中，所述邱二表示卫星绕地球旋转的角速度，y= 3.986Xl0i4mVs2是地 球引力常数，r是卫星环绕轨道的半长轴，[?W?JT是卫星本体坐标系Fb相 对于轨道坐标系F。的相对角速度，《 和《a分别表示角速度《t在S个坐标轴方向 的分量；心Jy和是航天器的转动惯量，《 = [?.?y，《JT是卫星本体坐标系Fb相对地 屯、赤道惯性坐标系。的角速度，和分别表示角速度《在=个坐标轴方向的分 量；Tmx，Tmy和Tmz分别表示磁力矩在S个坐标轴方向的分量；向量Tg是重力梯度力矩，
[0039]
(3)
[0040] 其中Tgx，Tgy和Tgz分别表示重力梯度力矩在立个坐标轴方向的分量，J= diaglJx,Jy,Jz}，X表示叉积；
[00川 向量《济《满足 [004引Wr= 0 + 0 0(J)y
[004引向量Tm= [1'。,，1'。"1"]1是磁力矩，表示为
[0044] Tm=mXb, (4)
[0045] 其中111 = 111(1:)=虹,(1:),111^(1:),111,(1:)]了是磁力矩器产生的磁偶极矩，111,(1:)，111^(1:) 和m,(t)分别表示磁偶极矩在地屯、赤道惯性坐标系的=个坐标轴方向的分量，b表示在地屯、 赤道惯性坐标系。中的地磁场矢量；忽略地球扁率的影响，则在轨道坐标系F。中地磁场矢 量表示为
[0046]
(5)
[0047] 其中，bi(t)，b2(t)和b3(t)分别表示地磁场13。在；个坐标轴方向的分量，im是航 天器在磁赤道上的倾角，时间测定是从t= 0在升交点穿越磁赤道开始；场偶极子强度Urn =7. 9X 10"师-m，b和b。的关系为
[0048] b=Wb〇 (6)；
[0049] (3)由小卫星S轴磁力矩姿态控制系统的姿态运动学与姿态动力学模型得到状态 空间方程
[0050] 在平衡点cf= [0, 0, 0, 1]嘴《 [0, -?。，0]T处姿态运动学模型（1)与姿态动 力学模型（2)可得
[005引其中，所述
^此时有W=I3，l3是3阶 单位矩阵，从（4)和化）中得到Tm=mXb。；
[0054] 选取状态向量义=[(/i，(/:，中，兩，夺:，如]T，控制向量m和输出向量}Kt)=虹，屯，Q3] T，由方程（7)和巧）可得状态空间方程
[00巧]
(9)
[0056] 其中A为系统矩阵，B(t)是输入矩阵，C是输出矩阵，分别有如下形式
[0059] 其中，所述B(t)是一个周期为普的周期矩阵，A是系统矩阵，是一个常数矩阵； 小卫星滚转角4,俯仰角日，偏航角1]^与四元数q之间的关系为(/=4七皆，七0，七(//，if;式巧） 具有如下特殊的性质；(A，B(t))能控，（A，C)能测，且当（0。。2,。3)满足如下
[0060]
(12)
[0061] 时，系统矩阵A的特征值都在虚轴上，并且特征值的代数和几何重数都是1，即系 统矩阵A是Lyapunov稳定或临界稳定的；
[0062] 所述小卫星为控制受限小卫星，主要表现在：
[0063] 在实际情况下，由于能提供给磁力矩器的电流不能太大，磁力矩器产生的磁 偶极矩m(t)(即控制向量m(t))在各轴上的分量的绝对值不能超出该轴上的最大值 巧>0,A=x，j.:，-7;如果理论上需要的控制向量m(t)在各轴上的分量的绝对值|mk(t)I超 出该轴上允许的最大值巧，>化4二-r，j.'，z，闭环系统将是非线性的并且其稳定性不能得到 保证；因此实际控制器设计必须考虑控制受限的情况，即要求
[0064] (〇|& lt;巧-，A = .r，>'，三， "j)
[0065] 其中>(U=x，乂 表示磁力矩器在地屯、赤道惯性坐标系中的k轴上能产生的 最大磁偶极矩分量。
[0066] 其它步骤及参数与【具体实施方式】一相同。
【具体实施方式】 [0067] 本实施方式与一或二不同的是：步骤二中求解代 数Lyapunov方程正定解P。的具体过程；
[0068]代数Lyapunov方程
[0069] A中 〇+P〇A=-护D (14)
[0070] 令巧二[65,61，《3，古。4，女6；；，女(?6]，其中6摩示6阶单位矩阵16的第^'列，则计算
[0071]
[007引其中Ai，As和A3均为与《。无关的常数矩阵，表示如下
[0073]
[0074] 假设010203声0,则在D= 0时，代数Lyapunov方程（14)的所有解表示为
[00巧]
[007引其中？2=diag{302丫2, 丫2)，丫2为任意常数，
[0077]
[0078] 其中丫 1，丫 3和丫 13是任何标量，并使得下式成立
[0079]
[0080] 如果选择丫 13= 0和K二^朽，得正定矩阵
[0081]
[0082] 其它步骤及参数与【具体实施方式】一或二相同。
【具体实施方式】 [0083] 四；本实施方式与一至=之一不同的是：步骤=中控 制受限情形下的线性反馈控制律的具体设计过程：
[0084] 步骤3. 1 ;定义饱和函数；
[0085] sat。（?）是向量值饱和函数，其饱和度向量表示为
[008引 曰=[a。曰 2,…，曰JT,曰d〉0,dGI[l，r] = {1，2,…，r}，
[0087]即

[00川步骤3. 2 ;对于任何n〉0和5〉0,定义周期矩阵Qs(t)=护D+5p0B(t)BT(t)P^Ac(t)=A-nB(t)BT(t)Po，其中BT(t)是输入矩阵B(t)的转置，验证（Ac(t)，Q6(t))是可检 测的；
[0092] 通过反证法验证；假设（A。(t)，Qs(t))不可测，则存在一个特征指数 PGE(Ae(t))使得（15)式成立
[0093]
(15)
[0094] 其中E(Ae(t))是Ae(t)的特征指数的集合，t。表示初始时刻，Ut)是WT为周期 的向量，称之为与P相关的右广义特征向量，且满足
[0101]令1。似=PcUt)声0,从恒等式（18)和式（19)可得下式
[010引上式蕴含P是-AT的一个特征指数，C0(t)是与P相关的右广义特征向量，即[010引 PGE(-AT) (21)
[0107]再次利用恒等式（18)和式（19)，可导出下式
[010引
[0109]其中|H(t)表示Ut)的共辆转置，Re(P)表示P的实数部分；上面的等式可 改写成下式
[0110]
[0111] 由此可知，对于任何t>t。，有下式成立
[0112]
[011引如果Re(P)〉0,则有
[0114]limt一mCH(t)P〇C(t) = - ， (22)
[0115] 又由于P。正定并且C(t)是WT为周期的，所W(22)是不可能成立的；类似的， 如果Re(P)<0,则|8(1)口。| (t) =〇°，该也是不可能的；因此必有（23)式成立
[0116] Re (P ) = 0. (23)
[0117] 注意到从（17)式可得BT(tU〇(t) =0;通过式（20)，（21)和（23)，可W推出 (-AT，BT(t))是不可检测的，即（A，B(t))是不可镇定的；该与（A，B(t))是可控的矛盾；所W (Ac(t)，Qs(t))是可检测的；
[0118] 步骤3.3;令5〉〇是任意常数，验证周期矩阵Ae(t) =4-118(*)8了(*)口。的渐近稳 定性；将代数Lyapunov方程（14)改写成下式
[0119]
[0120] 因为（A-riB(t)BT(t)Pa，Q2。似）是可检测的并且P。正定，由Lyapunov矩阵方程理 论可知A。(t) =A-nB(t)RT(t)P。是渐近稳定的；
[012。 步骤3. 4 ;设计控制受限小卫星S轴磁力矩姿态控制系统的状态反馈磁力矩姿态 镇定控制器
[0122] m(〇= -sat,(//i^'mjSDl
[0123] 其中n〉〇是任意常数；验证如下闭环系统
[0124] ^(0 =心(0 -公(OsaU,护(〇i:,义(0) 口4)
[0125] 的全局渐近稳定性；令5〉〇是任意常数，定义周期矩阵
[012引 QS(t)=护D+SP0B(t)BT(t)P0
[0127] 则对于任何n〉0和5〉〇,由步骤3.3可知周期矩阵Ac(t) =A-nB(t)BT(t)P。是 渐近稳定的，从而如下周期Lyapunov微分方程
[012 引 /，(0 + 4.' (/)/，(0 +/，(/H(/) = -4
[0129] 具有唯一周期正定解P(t);选择式（25)所示显式的Lyapunov函数
[0130] (25)
[013"其中巧,,|。=min阳、.，巧,，巧：！，
[0139] 其中入。"巧似}，Ami。巧(t)}分别表示周期矩阵P(t)的最大特征值和最小特征 值；V(x(t))是正定的；对Lyapunov函数（25)沿闭环轨迹求导有：
[0140]
[0141] 根据Lyapunov稳定性定理，闭环系统（24)是全局渐近稳定的；
[0142] 步骤3. 5 ;设计控制受限小卫星基于观测器的磁力矩姿态镇定控制器
[0143]
[0144] 其中矩阵L使得A+LC是化rwitz的，n〉〇是任意常数，C(t)是观测器的状态； 令e(t) =X(t)-C(t)，验证如下闭环系统
[0145]
(26)
[0146] 的全局渐近稳定性；选择式（27)所示显式的正定Lyapunov函数
[0147]
[014引其中口，￥1^(*))，￥2^(*))的表达式同步骤3.4;
[0巧引Pe(t)是如下周其月Lyapunov微分方程
[0153] (^ + U + !(、)'/;,(/) + (OU + ZC) =
[0154] 的唯一周期正定解；对Lyapunov函数（27)沿闭环轨迹求导有；
[0155]
[0156] 根据Lyapunov稳定性定理，闭环系统（26)是全局渐近稳定的。
[0157] 其它步骤及参数与【具体实施方式】一至S之一相同。
[015引具体实施例
[0159] 直接针对原始非线性方程（1)和（2)进行仿真。假设某型卫星轨道高度600km，倾 斜角是90deg，相关技术参数如下表；
[0160]
[01设定01= 0. 4023,02= 0. 2200 和03= 0. 2000,选择P1〉0 和P3X)，则按照本发 明的步骤得到状态反馈控制器中F(t)如下
[0162]
[0163] 其中丫 3〉〇和丫 2〉〇。为了仿真需要，在F(t)中选定}^3=托=W:;在每个轴上选 定大初始姿态误差大约为30deg，并且初始姿态速率误差范围从-0. 03deg/s到0. 03deg/ S，"。=0. 0630deg/s= 0.OOllrad/s;在S轴上最大偶极子矩为 0. 03A.m2,选定q= 3. 1623X108,仿真展示了闭环系统对于大初始姿态和速率误差的响应特性；结果表明闭环 系统具有相当满意的瞬态和稳态响应性能；对于初始条件4 (t。）= 0 (t。）=iD(t。）= 30deg和沁,,）=如=則/,,)=0.03deg/s，图3-4记录了状态响应曲线；由此可见，系统在 8小时内成功收敛到平衡点；图5记录了控制信号变化曲线，可W看出在大部分时间中执行 器都是饱和的；该说明了闭环系统呈现出本质的非线性特征；由于用于控制器设计和仿真 的模型是明显不同的，所W仿真的结果还说明了本发明所提出的控制方案具有较好的鲁椿 性。
[0164] 出于比较的目的，图中也给出渐近周期线性二次调节方法（APLQR):设计饱和线 性状态反馈控制《 = -5如。(巧,灰|公|(〇/-;.#(〇).其中常数a"〉〇，Pe是如下方程的解
[016引 A中e+PeA-PeSePe= -Q,
[016引其中.、.=普护W (〇山，对于R〇〉0,有R = R(〇= R。/ e 2,当e充分小时 APLQR控制器也可用于镇定小卫星S轴磁力矩姿态控制系统；为了给出一个相对较好的控 制性能，选择如下合适的参数；Q=diag{0. 1，1，1，0. 1，0. 1，1，0. 1}，R= 7. 281X10哺曰。 =491 ;在图3-4中，记录了在相同初始条件下的状态响应曲线，可W观察到，系统的状态需 要16个小时W上的时间从初始条件转移到平衡点。该个调节时间大约是本发明所提出的 控制器调节时间的两倍。
【主权项】
1. 基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法，其特征在于 它按以下步骤实现： 步骤一：建立控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制的姿态运动学与姿态动力学模型， 并得到状态空间方程； 步骤二：求解代数Lyapunov方程的显式解Ptl: ATP〇+P〇A = -DtD 其中A是小卫星姿态控制系统的系统矩阵，D是任意维数的矩阵，由于系统矩阵A是临 界稳定或是Lyapunov稳定的，保证上述代数Lyapunov方程存在正定解Ptl; 步骤三：通过代数Lyapunov方程的正定解Pci，设计显式的控制受限情形下的线性反馈 控制律，即设计控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的状态反馈磁力矩姿态镇定控制 器和基于观测器的磁力矩姿态镇定控制器；通过构造显式的Lyapunov函数，保证闭环系统 的全局渐近稳定性。2. 根据权利要求1所述的基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态 控制方法，其特征在于步骤一具体为： (1) 坐标系定义 引入地心赤道惯性坐标系X-Y-Z记作Fi,其中X轴指向春分点，X-Y面为地球赤道面，Z 轴沿地轴指向北极； Fb记为卫星本体坐标系，F。为轨道坐标系，其坐标原点位于卫星的质心，X。沿着轨道方 向，y。垂直于轨道面，z。是最低点方向； 在轨道坐标系F。下描述卫星的姿态，如果卫星姿态 达到期望位置，则卫星本体坐标 Xblb-Zb和轨道坐标X。1。_2。完成重合； 卫星本体坐标系Fb和轨道坐标系F。之间通过姿态矩阵Ψ相联系其中，所述q =[如q2, q3, ％]7是四元数，设卫星本体坐标系Fb相对于轨道坐标系F。在 X轴，Y轴和Z轴上的相对位置分量分别是X，y，z，A，％和朽分别表示姿态矩阵Ψ在三 个坐标轴方向分量； (2) 建立小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的姿态运动学与姿态动力学模型 小卫星的姿态运动学模型：小卫星的姿态动力学方程：其中，所述叫=#表示卫星绕地球旋转的角速度，μ = 3. 986 X 1014m3/s2是地球引 力常数，r是卫星环绕轨道的半长轴，c^= [ω c^y，ω 是卫星本体坐标系Fb相对于 轨道坐标系F。的相对角速度，ω M，G^y和ω ^分别表示角速度在三个坐标轴方向的分 量；Jx，Jy和Jz是航天器的转动惯量，ω = [ωχ，ωγ，ωζ]Τ是卫星本体坐标系Fb相对地心赤 道惯性坐标系F i的角速度，ω χ，Oy和ω ζ分别表不角速度ω在三个坐标轴方向的分量； T"，TmjP T ^分别表示磁力矩在三个坐标轴方向的分量；向量T g是重力梯度力矩， Tg=Irgx Tgy tJ = 3c^:xjpz, (3) 其中Tgx，Tgy和T gz分别表示重力梯度力矩在三个坐标轴方向的分量，J = diag{Jx, Jy, Jz}，X 表示叉积； 向量 '和ω满足 ωΓ= ω + ω 向量Tm= [Tmx, Tmy, Tmz]1^磁力矩，表示为 Tm= mXb, (4) 其中 m = m(t) = [!^(!^，!^(!^，!^(!^!^是磁力矩器产生的磁偶极矩，!]!"!:），!!^!:)* mz (t)分别表示磁偶极矩在地心赤道惯性坐标系的三个坐标轴方向的分量，b表示在地心赤 道惯性坐标系Fi中的地磁场矢量；忽略地球扁率的影响，则在轨道坐标系F。中地磁场矢量 表示为其中，bi(t)，b2(t) *b3(t)分别表示地磁场k在三个坐标轴方向的分量，1是航天器 在磁赤道上的倾角，时间测定是从t = 0在升交点穿越磁赤道开始；场偶极子强度ym= 7. 9 X 1015Wb-m，b 和 bQ的关系为 b = Wb0 (6)； (3)由小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的姿态运动学与姿态动力学模型得到状态空间 方程 在平衡点Y= [〇, 〇, 〇, 1] 7和ω ?= [〇, -ω & 〇]τ处姿态运动学模型（1)与姿态动力学 模型⑵可得?8)比时有Ψ = 13, 13是3阶单 位矩阵，从（4)和（6)中得到Tm= mXbQ 选取状态向量7 = [(/1，义斗41，々2冰]1，控制向量111和输出向量7(1:) = [91，92,93]'由 方程（7)和（8)可得状态空间方程其中A为系统矩阵，B (t)是输入矩阵，C是输出矩阵，分别有如下形式其中，所述B (t)是一个周期为T 的周期矩阵，A是系统矩阵，是一个常数矩阵； 小卫星滚转角Φ，俯仰角Θ，偏航角φ与四元数q之间的关系为众士久切/,Ij1; 式（9)具有如下特殊的性质：(A，B(t))能控，（A，C)能测，且当（〇1，。2,。 3)满足如下时，系统矩阵A的特征值都在虚轴上，并且特征值的代数和几何重数都是1，即系统矩 阵A是Lyapunov稳定或临界稳定的； 所述小卫星为控制受限小卫星，主要表现在： k = x^y.z, (13) 其中A. >0,丨= 表示磁力矩器在地心赤道惯性坐标系中的k轴上能产生的最大 磁偶极矩分量。3. 根据权利要求2所述的基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态 控制方法，其特征在于：步骤二中求解代数Lyapunov方程正定解P ci的具体过程： 代数Lyapunov方程 ATP〇+P〇A = -DtD (14) 令丑女忐??2，女其中ej表示6阶单位矩阵I 6的第j列，则计算其中A1, AjPA3均为与ω ^无关的常数矩阵，表示如下假设σ i σ 2 σ 3辛〇,则在D = 0时，代数Lyapunov方程（14)的所有解表示为其中P2= diag{3 〇 2γ2, γ2}，γ2为任意常数，其中Y1, 73和Y 13是任何标量，并使得下式成立如果选择丫13=〇和K=会r 3,得正定矩阵4. 根据权利要求3所述的基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态 控制方法，其特征在于：步骤三中控制受限情形下的线性反馈控制律的具体设计过程： 步骤3.1:定义饱和函数； sata (·)是向量值饱和函数，其饱和度向量表示为 a = [a " a 2，…，a r]T，a d>〇, d e I[l，r] = {1，2,…，r}， 即 satff {it) - [sat^ (U1) sat^ (u2) ··· satffr (wr)]T, 其中 u = [u" u2，…，ur] ^ sat% (~）=sign ("t/) min {I 〃t/ I, aJ，t/e I[l, r]; 令f = k 极v -极 J1' 馬 > 〇,灸=x, z，即sat? (w?(印：[sat~ (w.r (〇) satR (wv W) sat?_ (w 步骤3. 2:对于任何n>〇和S >0,定义周期矩阵Qs (t) =DtD+δ PtlB (OBtU)Pci和Ac (t) ζΑ-τ?ΒωΒΤωΡ。，其中BT(t)是输入矩阵B(t)的转置，验证（Ae(t)，Q s⑴）是可检测的； 通过反证法验证；假设（Ae(t)，Qs (t))不可测，则存在一个特征指数P e E(Ae(t))使 得（15)式成立 βν(0?(0 = (λ (15) 其中E(AJt))是Ae(t)的特征指数的集合，tQ表示初始时亥I」，ξ (t)是以T为周期的向 量， 称之为与P相关的右广义特征向量，且满足 ^,) = (Α-ηΒ(?)Β'(16) 因为S >0,所以从（15)式可得 ^ (〇^(/)Ξ〇, V/>i0, (17) /,)^(0^0, V/>/". (18) 通过恒等式（17)，方程（16)导出（19)式 ξ{?)^{Α-ρΙ!)ξ{!\ (19) 令ξ (I (t) = Ptl ξ (t)辛0，从恒等式（18)和式（19)可得下式即可得式（20) ξ 〇 (t) = (-At- P I6) ξ 〇 (t). (20) 上式蕴含P是-At的一个特征指数，ξ Jt)是与P相关的右广义特征向量，即 P e E (-At) (21) 再次利用恒等式（18)和式（19)，可导出下式其中ξΗα)表示ξ⑴的共轭转置，Re(P)表示P的实数部分；上面的等式可改写 成下式如果Re(P)X),则有 I imt ^00 ξ H (t) P0 ξ (t) = - 00 , (22) 又由于Ptl正定并且Ut)是以T为周期的，所以（22)是不可能成立的；类似的，如果 Re(p)〈0,则|H(t)PQ| (t) =〇°，这也是不可能的；因此必有（23)式成立 Re(P)=O. (23) 注意到从（17)式可得BT(t) ξαα) = 0 ;通过式（20)，（21)和（23)，可以推出 (_AT，BT(t))是不可检测的，即（A，B(t))是不可镇定的；这与（A，B(t))是可控的矛盾；所以 (KthQjt))是可检测的； 步骤3.3:令δ>〇是任意常数，验证周期矩阵Ae(t) 的渐近稳定性； 将代数Lyapunov方程（14)改写成下式 Al {1)1\,+ PAAt) =(.4-ηΒ(,)Β?(ι)Γηj' Pii +(AU)-ηΒ{<)B' = -(〇'D + 2η1\β(ι)Β'U)l\) 因为（Α-τ?ΒωΒΤα^,?^α))是可检测的并且Ptl正定，由Lyapunov矩阵方程理论可 知 Ac(t) =A-qB(t)BT(t)P0 是渐近稳定的； 步骤3. 4 :设计控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的状态反馈磁力矩姿态镇定 控制器 m{!) = -Sati^ 1 (?)Ρηχ(/)\ 其中η >〇是任意常数；验证如下闭环系统 χ(?) = Αχ{!) - ^(Z)Satw1 (I)PuXii)) (24) 的全局渐近稳定性；令S>〇是任意常数，定义周期矩阵 Q5 (t) = DtD+δ P0B (t) Bt (t) P0 则对于任何η >〇和S>〇，由步骤3. 3可知周期矩阵A。(t) =A-n B (OBTa)Ptl是渐近 稳定的，从而如下周期Lyapunov微分方程 P(t) + A： {l)l\l) + P(t)Ac{t) = -h 具有唯一周期正定解P (t);选择式（25)所示显式的Lyapunov函数其中1W和Pp定义为其中Xmax{P(t)}，Amin{P(t)}分别表示周期矩阵P(t)的最大特征值和最小特征值； V( X (t))是正定的；对Lyapunov函数（25)沿闭环轨迹求导有：根据Lyapunov稳定性定理，闭环系统（24)是全局渐近稳定的； 步骤3. 5 :设计控制受限小卫星基于观测器的磁力矩姿态镇定控制器其中矩阵L使得A+LC是Hurwitz的，ri >0是任意常数，ξ (t)是观测器的状态；令e(t) =X α)-ξ (t)，验证如下闭环系统的全局渐近稳定性；选择式（27)所示显式的正定Lyapunov函数其中P, Vj X (t))，V2 ( X (t))的表达式同步骤3. 4 ;Pe (t)是如下周期Lyapunov微分方程 1\,(/) + U + LC)1P (〇 +1\,(D{A + LC) = -I6 的唯一周期正定解；对Lyapunov函数（27)沿闭环轨迹求导有：根据Lyapunov稳定性定理，闭环系统（26)是全局渐近稳定的。
【专利摘要】基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法，本发明涉及基于代数Lyapunov方程的控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制方法。本发明为实现控制受限情形下的小卫星三轴磁力矩姿态控制系统的全局稳定。步骤一：建立控制受限小卫星三轴磁力矩姿态控制的姿态运动学与姿态动力学模型，并得到状态空间方程；步骤二：求解代数Lyapunov方程ATP0+P0A＝-DTD的显式解P0：其中A是系统矩阵，D是任意维数的矩阵，系统矩阵A是临界稳定或是Lyapunov稳定的，保证上述代数Lyapunov方程存在正定解P0；步骤三：通过代数Lyapunov方程的正定解P0，设计显式的控制受限情形下的线性反馈控制律。本发明应用于卫星控制领域。
【IPC分类】G05D1/08
【公开号】CN104881036
【申请号】CN201510346034
【发明人】周彬, 罗威威
【申请人】哈尔滨工业大学
【公开日】2015年9月2日
【申请日】2015年6月19日