一种针对蓝藻问题的治理方法
【技术领域】
[0001] 本技术方案主要研究了带有脉冲控制策略的鱼-藻消耗性动力学模型，通过应用 脉冲方程和小振幅扰动技巧，证明了灭绝周期解的全局稳定性和系统的持久性。通过该动 力学模型的应用，得到藍藻治理问题的生物控制方法。
【背景技术】
[0002] 在最近几十年里，控制水体藻类水华现象（特别是引起水质恶化的藻类）已成为 一个日益复杂的问题，因为藻类种群一旦暴发失控，将会产生巨大的经济损失。目前，许多 湖泊每年都会大面积暴发藍藻水华，在该些湖泊中，生态平衡遭到破坏，水质恶化，人类健 康受到威胁。因此，研究如何控制藻类水华具有重要的理论意义和实际前景。
[0003] 藻类生物控制方法最常见的是利用滤食性鱼类去控制藻类种群的增长，该种方法 可W阻止藻类种群的异常增长，进而控制水体富营养化的水平。生物控制方法在病虫害防 治中已经得到应用。目前许多水库都用生物方法来控制藻类繁殖，该种方法在武汉东湖中 被证明能有效地防止藻类水华爆发。然而，许多学者怀疑该种方法不仅成本昂贵，而且短时 间内也不会有效。另一种常用的方法是化学防治（通常是稀释的硫酸铜），该种方法可W杀 灭大部分藻类种群，但是它却带来很多负面影响。在某些情况下，该种综合效应可能导致的 协同作用比各个个体效应的简单增加效果要好。
【发明内容】
[0004] 为了消除藻类种群，本发明提出如下技术方案：
[0005] -种一种针对藍藻问题的治理方法，是采用生物控制方法，包括步骤：
[0006] (一）建立藍藻问题的治理算法；（二）根据治理算法给出的固定时刻投放和收获 食藻类水产，从而针对藍藻问题的进行治理；
[0007] 所述步骤（一）中：
[0008] 1)建立脉冲控制策略的S种群捕食系统
[0009] 1. 1)该系统模型如下微分方程描述：
[0010]
[0011]其中，
[0012] x(t)为藍藻的种群密度，y(t)代表着消费者的种群密度，z(t)为館鱼的种群密 度，al为藍藻的种群密度增长率，a2为消费者的种群密度增长率，a3为館鱼的种群密度增 长率，a〉〇, 6〉0代表藍藻和消费者之间的竞争参数，n〉〇和y〉〇为分别为藍则和消费者 的减少率，d〉0为館鱼的转化率，
[0013] Ax=x(t+)-x(t)，Ay=y(t+)-y(t)，Az=z(t+)-z(t)，T为度夫冲周期，n= 1，2…，5〉〇为館鱼在t=nT时刻的收获率，p〉0,p表示在t=nT时刻（即脉冲时刻）投 放館鱼的投放量；
[0014] 竞争参数是指两种群之间相互作用而使另一方密度减少的系数，a表示消费者与 藍藻竞争使藍藻密度减少的系数、0表示藍藻对消费者的作用系数，a和P-般取值在 [0, 1]之间；
[0015] n表示館鱼W藍藻为食使藍藻密度减少的系数，y表示館鱼W消费者为食使消 费者密度减少的系数；
[0016] d表示館鱼的转化率，转化率是指館鱼W藍藻和捕食者为食使館鱼自身种群密度 增加的系数；
[0017] t为时间，T为脉冲周期，n= 1，2, 3…洁里，消费者是指中间捕食者，也W藻类为 食；
[0018] 式（1. 1. 1)模型搭建了館鱼投放和收获发生在统一脉冲时刻；
[0019] 2)建立具有两脉冲时刻投放和收获的=种群生物动力系统
[0020] 1. 1)该系统模型描述如下：
[0021] 对建立脉冲控制策略的=种群捕食系统模型（1. 1. 1)进行改进：加入了藍藻依赖 型的功能性函数
将脉冲投放和脉冲收获置于两个不同的时刻；对消费 者引入一个固定周期收获，且对藻类进行化学防治，然后在t=nT时定时释放館鱼，在式 1. 1. 1基础上，得到本系统模型如式2. 1. 1所示；
[0022]
[0023] 在消费者和館鱼种群密度较小的情况下，藍藻种群的增长满足Logistic函数；
[0024]r为内禀增长率，k为环境容量，r/k为种群内竞争系数，本模型中，a和P的含 义与模型1.1. 1中相同，
[0025]di、d2分别为消费者和館鱼死亡率；
[0026]L表示另一个脉冲时刻的测度；
[0027] 常数Ei、E2、E3分别为由于采用额外控制措施，使得藍藻的种群密度、消费者的种群 密度和館鱼的种群密度减少的比例，T〉0,0<L<1，0《Ei、E2、E3<1 ;
[0028]
为Hoi1 ing II类函数即功能性反应函 数，它们分别依赖于藍藻和消费者的种群密度，并且满足；F(x)GCi，F(x)GR+，F(0)= 0,F(x)/x是单调递减的其中，cl为复数域、R+为正。
【附图说明】
[0029] 针对脉冲控制策略的=种群捕食系统：
[0030] 图l-1-a、b和C显示了脉冲控制下的固定时刻收获和投放S种群系统， (口> 18.9752836)，其中图1-1-3是藍藻的时间序列图；图1-1斗是消费者的时间序列图； 图1-1-C是館鱼的时间序列图。
[0031] 图l-2-a、b和C脉冲控制下的固定时刻收获和投放S种群系统（p〉8.905127)，其 中图l-2-a是藍藻的时间序列图；图l-2-b是消费者的时间序列图；图1-2-C是館鱼的时间 序列图。
[0032] 针对两脉冲时刻投放和收获的=种群生物动力系统：
[0033] 图2-1-a、b和C为不同时刻脉冲投放和收获的功能依赖型S种群系统，其中图 2-1-a是藍藻的时间序列图；图2-1-b是消费者的时间序列图；图2-1-C是館鱼的时间序列 图。
[0034] 图2-2-a、b和c为不同时刻脉冲投放和收获的功能依赖型S种群系统 (In(1-Ei)+rT《0)，其中图2-2-a是藍藻的时间序列图；图2-2-b是消费者的时间序列图； 图2-2-C是館鱼的时间序列图。
[0035] 图2-3-a、b和C为不同时刻脉冲投放和收获的功能依赖型S种群系统 (ln(l-Ei)+rT〉0)，其中图2-3-a是藍藻的时间序列图；图2-3-b是消费者的时间序列图；图 2-3-C是館鱼的时间序列图。
【具体实施方式】
[0036] 下面结合附图与【具体实施方式】对本技术方案进一步说明如下：
[0037] -种针对藍藻治理问题的生物控制方法，是根据整理算法而针对藍藻问题的进行 治理。
[0038] 本技术方案中，治理算法的设计思路为；
[0039] 1、建立脉冲控制策略的S种群捕食系统
[0040] 1. 1数学模型建立
[0041] 生态种群动力学模型不仅考虑了种群的自然增长和相互作用，而且也提高了对 食物链和食物网功能及其依赖环境条件的认识。脉冲微分方程已被广泛应用于研究脉 冲捕食模型和食物网模型的数学性质。此外，虽然脉冲微分方程理论并不比相应的微分 方程理论更加丰富，但是却能更有效地反映现实生态问题。水库水体富营养化越来越严 重，有效控制藻类种群异常繁殖问题的解决方法为：一般情况下，人们会采用往水库里投 放一定的滤食性鱼类，通过两者之间的食物链关系来控制藻类的异常增长。同时管理者 考虑到成本效益，会对投放的鱼类进行定期的收获。无论是投放还是收获，该些行为相 比与物种生长的周期都是一个瞬间的过程，从系统的角度来说都是扰动。因此，可W假 设该些扰动W脉冲的形式发生作用。参考文献（JiangGR，LuQS，LuoGL，Impulsive Controlofastage-structuredpestmanagementsystem.JournalofMathematical S化dy，2003, 36(4) : 331-344)捕食-被捕食系统模型可w用如下微分方程描述：
[0042] x(t)为藍藻的种群密度，y(t)代表着消费者的种群密度，z(t)为館鱼的种群密 度，ai〉0(i=1，2, 3)为增长率，a〉〇,P〉〇代表食巧之间的竞争参数，n〉〇和y〉〇为食巧 的减少率，d〉0为捕食者的转化率。
[画]
(1.1.U
[0044]其中，Ax=x(t+)-x(t)，Ay=y(t+)-y(t)，Az=z(t+)-z(t)，T为脉冲周期，n =1，2…，5〉〇为館鱼在t=nT时刻的收获率，p〉0为t=nT时刻投放館鱼的投放量，本 模型搭建了投放和收获发生在统一脉冲时刻。
[0045] 1. 2)对系统（1. 1. 1)正确性的理论分析
[0046] 如果藍藻和消费者灭绝，则系统1. 1. 1变为
[0047]
[0048]定理1. 1
[0049]
时的周期解，其中tG(nT, (n+l)T]，n是正整数。
[0050]
是系统（1. 1. 1)在Z。=z肌的一般解，其中tG(nT，（n+l)T]，n是正整数。
[0051] (3)对于系统（1. 1. 1)的一般解z(t)和周期解z*(t)，当t一时，z(t)-z*(t)
[0052] 而系统（1. 1. 1)存在一个藍藻和消费者半平凡周期解：
[0053]
[0054] 定理1. 2存在一个正常数M，对于足够大的时间t，使得 x(t)《M,y(t)《M,Z(t)《M;其中，X(t)=(x(t),y(t),Z(t))为系统（1. 1. 1)的任意解。 [005引证明鹿义函数V(t，x)为
[0056]V(t,x)=dx(t)+dy(t)+z(t)
[0057] 于是，当t声nT，V(t，X)沿着系统化1. 1)的导数为
[0058]扩V(t,x)+LV(t)《d(X+ai)x(t)-dx2(t)+d(L+a2)y(t)-dy2(t)+(X-a3)z(t)令 0<L<a3;d(L+a1)X(t)-dx2 (t)和d(L+ag)y(t)-dy2 (t)都是有界的，因此护V(t,X)+LV(t)是有 界的，即护V(t，x)+LV(t)<K。
[00则定理1. 3如果
[0060]
[0061] 成立，则系统（4. 1. 1)的半平凡周期解化0，z*(t))是局部渐近稳定的。
[0062] 证明；周期解（0,0，z*(t))的局部稳定性是通过考虑解的小振幅扰动来分析，定 义X(t)=U(t)，y(t)=V(t)，Z(t)=
W(t)+Z* (t)，将变换代入系统（1. 1. 1)，然后进行线 性近似，略去高次项，则系统（1. 1. 1)线性化为：
[0063]
[0064] 因此有Mt)是标准基础解矩阵，则（Ht)满足^則t)，其中 (It
[0065]
[006引 由于Mt)是标准基础阵，则MO) =I为单位矩阵，且
[0067]
[0068] 因此系统（1. 1. 1)的半平凡周期解（0, 0,z*(t))的局部稳定性由矩阵
[0069]
的特征值所决定，其中
[0074] 根据Floquet乘子理论，若A1<1，Ag。，则系统的半平凡周期解是局部渐近稳定 的。即
[0077] 成立，定理证毕。
[0078] 下面证明（0,0,zt(t))的全局吸引性。选取e〉0,使得
[0079]
[0080] 由于
考虑下面的脉冲微分方程：
[0081]
[0082] 由于脉冲微分方程比较定理有z(t) >g(t)，并且当t一-时，g(t) -z*(t)，于是 当t足够大时，
[0083]Z(t) >g(t) >z*(t)-e。
[0084]由方程（1. 1. 1)知
[0085]
[0086] 在区间t= (nT，（n+l)T]，两边同时积分得
[0087]
[0088]于是x(nT)《x(0+)exp(n0 )，并且n- 时，x(nT) - 0。因此当n- 〇°，Xi(t) - 0。 利用同样的方法可证当n- 时，X2(t) - 0。
[008引 下面证明如果！扣-、'i(t)= 0且!扣-(t)= 0，则当t一 时，ZW-Z*(t)。 对于0 <Si<过州\的'存在r>。，使得0〈x(t) <e1，0<y(t) <e。。^于是
[0090]由比较定理得gi (t)《Z (t)《g2(t)，当t一〇°时，gi (t)-Z* (t)，g2(t)-z* (t)， gl (。和拓（t)分别是下面方程的解：
[0091]
[0092]和
[009引 因此当t足够大时，z*(t) - e 2〈z (t) <g*2 (t)+e2，e 2〉0。令e1-0,则当t一时， g*2 (t)-Z* (t),Z (t)-Z* (t)。证毕。
[0097] 1. 3)仿真分析
[0098] 在目前的理论水平之下，无法求出系统的显示解析解，所W只能通过数值模拟来 研究系统（1.1. 1)的一些动力学性质。为了研究脉冲扰动、定期捕获与投放对系统动力学 行为的影响，对系统（1. 1. 1)长期动力学行为进行了数值模拟。
[0099] 在系统满足生物学意义的提前下，给出系统（1. 1. 1)的一组参数值W及其所满足 的初始值如下：
[0100] al = 1. 5；a2 = 1；a3 = 1；a = 1. 05；5 = 0. 8；|3 = 1. 05；n = 0. 4；y = 0. 2； d = 2. 5 ;
[0101]x(l) = 0. 1 ；y(l) = 0. 1 ；z(l) = 0. 1；T= 5
[0102] 图l-l-a、b和c是通过一组数据对带有脉冲扰动的动力系统（1. 1. 1)的动 力学行为进行了模拟。图中显示了脉冲控制下的固定时刻收获和投放=种群系统， P> 18. 9752836。从图中可W看出藍藻和消费者都灭绝了，而館鱼最终稳定在一个范围内。 图l-1-a是藍藻的时间序列图；图l-1-b消费者的时间序列图；图1-1-C是館鱼Z的时间序 列图。
[0103] 经过计算，当1)>9。"= 18.9752836时，半平凡周期解（0,0,2*(*))是全局渐近稳 定的，亦是局部渐近稳定的，图l-1-a、b和C进而验证了其正确性。事实上，当p〉8. 90512 时，消费者就灭绝了，图l-2-a、b和C可W说明该一点。
[0104] 图l-2-a、b和C是脉冲控制下的固定时刻收获和投放S种群系统（p〉8. 905127)。 从图l-2-a、b和C中可W看出，当P〉8. 905127时，消费者就迅速灭绝了，此时藍藻和館鱼是 共存的，该里可W看出消费者是一个中间捕食者，也W藍藻为食，当P的值从0开始增加时， 藍藻的密度迅速增加，而消费者的密度迅速衰减，而館鱼的密度也在增加。该些动力学行为 可W看出脉冲扰动可W促进捕食者的持久生存，但同时也会加速消费者的灭绝进程。因此， 当館鱼的释放量P的值很小时，館鱼Z对藍藻X的最大密度没有负面影响，但是它对消费 者y的最大密度却有很大的影响。该就意味着，当所有参数都被取定之后，释放量P的取 值应该小于某一个阔值W使系统（1. 1. 1)是持久存在的，也就是要根据定理1. 3来决定P 的取值。W上的数值模拟证明上述的理论推导是正确的W及所采用的脉冲控制策略的可行 性。
[0105] 2、建立具有两脉冲时刻投放和收获的=种群生物动力系统
[0106] 1. 1)模型建立 rd)
[0107] 对模型（1. 1. 1)进行改进；加入了食巧依赖型的功能性函数= 并 将脉冲投放和脉冲收获置于两个不同的时刻；对消费者（鱼类）引入一个固定周期收获，且 对藻类进行化学防治，然后在t=nT时定时释放天敌（鱼类），本系统数学模型如式2. 1. 1 所示：
[010引
[0109] 式2. 1. 1中x，y，z分别代表藍藻、消费者、館鱼的种群密度，館鱼Z捕食消费者 y，消费者又W藍藻X为食。在消费者和館鱼种群密度较小的情况下藍藻种群的增长满足 Logistic函数，r为内禀增长率，r/k为种群内竞争系数，k为环境容量，a、P分别为转化 率，31、32分别为功能型函数的系数，d1、d2为死亡率，T为脉冲周期，P为脉冲投放量，常数 Ei、E2、E3分别为由于某种控制措施，使得x，y，z减少的比例，T〉0,0<L<1，0《Ei、E2、E3<1 ;
[0110]
称为RollingII类函数（即功能性反应函 数），它们分别依赖于藍藻和消费者的种群密度，并且满足；F(x) GCi，F(x) GR+，F(0)= 〇，F(x)/x是单调递减的。
[0111] 2. 2)系统2. 1. 1正确性的理论分析
[0112] 若消费者y灭绝，即y= 0,则系统（2. 1. 1)可变为如下两个子系统：
[0116] 定理 2. 2.1
[0117] (1)若In(l-Ei)甘T〉0,则系统化2.。存在一个周期解X,'，并且 [011引（i)
[0119] (ii)系统a.2.。满足初值x〇〉〇的解xW均有賴|xW-刮叫=0;
[0120] (化；
其中 <，<分别为r取不同值IVr,时的周期解；
[0121] (2)若In(l-Ei)甘T《0,则系统（1. 1. 2)的解!i!" = 0。
[012引证明首先，易得化2. 2)的任意解v(t)，
[0123]
[012引 （i)设ln(l-Ei)+rT〉0.由周期解的周期性可得
[0129]
[0130] 和
[0131]
[0132] 显然，当ln(l-Ei)+rT〉0时，存在唯一且严格为的周期解事实上，
[0144] 结论（i)得证。
[0145] 令x(t)是化2. 2)满足初值为正的解，下面将证明
[014 引若x(LT+ )二<.(LT+ )，删X二X:。现假设x(LT+ )>x:.(LT+ )。若不等号反 向，则有类似的分析。
[0147]记f:R+-R+为
[014 引
[0149] 易知f(x)是严格递增的，而^是严格递减的，由（2. 2. 3)可知
[0150]
[0151] 由的周期性可知Xft((L+l)T-) =x；：(LT-)，由于f在R+上是严格递增的，贝IJ
[0152]
[0巧3] 和
[0154]
[0巧5](因为x(LT-)>x:.(LT-)，r(x:.(LT-))=x:.(LT-)，f(x)/x是严格递增的）。
[0156] 同理可得
[0160] 于是x((n+L)T+)是单调递减且有界的，并收敛到某个wi〉0。另外，
[0161] X((n+L+1)T+)-X((n+L)T+) =f(X((n+L)T+)-X((n+L)T+)- 0,n- 由上可得f(讯1) =Wl和Wl=x:(LT+ )，于是
[0165]结论（ii)得证。
[016引利用化2.W的表达式和、X;。的周期性可W证明结论（化）。事实上，
[016引类似地，可得到如下的结论：
[0169] 引理2. 2. 2系统（2. 1. 3)存在一个周期解，并且
Z^2 ' 分别为d2取不同的值时的周期解。
[017引关于边界周期解（0,0，z;Jt))和(X:(t)，0，z；；:(tリ的局部稳定性，可利用Floquet 理论和比较定理进行讨论，进而有下面的定理：
[0174]定理2. 2. 1设In(l-Ei)甘T〉0,则
[017引 （1)周期解是不稳定的；
[0176] 似若
[0177]贝ij周期解(x:auu;非)）是局部渐近稳定的。
[017引下面考虑（0，0，(t))和把.(t)，0, z；；^的)的全局稳定性。
[0179] 定理2. 2. 2(l)ln(l-Ei)甘T《0,则（〇,〇,zj，（t))是全局渐近稳定的；
[0180] (2)若In(1-Ei)甘T〉0 且
[0184] 则(<.〇)，0,4(1))是全局渐进稳定的。
[0185] 证明（1)In(1-Ei)+rT^ 0。令 ￡ 1〉0,使得agi(e1)<di(这总是可能的，因为
。注意到〇<n<1，于 是可知
[0186]
[0187] 由比较定理知X(t) <义阳（t>0)其中又的为（I.2. 1)的解。因为当t一〇°时， 又(t)^0，由引理2. 2. 1知x(t) -0,故存在Ti〉0,使得x(
t)《ei(t>Ti)，为简便起见， 设x(t)《e1(t〉0)，于是
[018 引
< >'（t)[agi(&?,)-* (n+L+l)T
[0189] 在（(n+kl)T，（n+Dll上积分上式得
[0190] In(y((n+L)T))-In(y((n+l^-l)T+))《（agi(e1) -di)T,n> 1
[0191] 和
[019引In(y((n+L)T)) -In(y((n+kl)T)) -In(1- 51)《（a gi( e 1) -di)T，n>1，
[019引并且y((n+L)T)《y((n+l^-l)T)n和y((n+L)T)《y(LT)n。，该说明当n-时，y((n+L)T) - 0。另外，由
[0194] -v(t)<y((n+Z+l)T+ )ei"giiS|i-''i"t-"'L-"T)，te((n+L-l)T，(n+l)T]
[0195]可知
[019引y(t)《y((n+L+l)T+)tG((n+l^-l)T, (n+1)T]
[0197]进而当t一时，y(t) - 0。
[019引 下面将证明当t一 时z(t) ^ ^ 0。为此，令0<e2<d/( 0Tg)。因为当 t一°°时，y(t) - 0,所W存在了2〉0,使得对所有的t>T2均有y(t)《e2。为简单起见， 设y(t)《e2 (t〉0)，则
[0199]
[0200]《0 Lay (t) z (t) -daZ (t)
[020U 《-化-0L2e2)z似tt声（n+l^-l)T,t声nT
[020引 由比较定理得
[0203] S|(t) <Z(t) <S2(t)，
[0204] 其中马(t)为2. 2. 2)的解，S2(t)为将（2. 2. 2)中的参数da换成da-eL2e2后所得 到的解。
[020引因为当t一-时该些解分别接近于(t)和(t)，所W由引理2. 2. 2,当t足够大时，
[0206]
[0207] 由引理2. 2. 2可知结论（1)成立。
[020引 似设In(l-Ei)甘T〉0,将证明当t 时，y(t) - 0。为此，选取e3〉0,使得
[0209]
[0210] 因为I各i(X:似+《3)-各i(X:似和王声3和化2.7)成么所W￡3的选择是可行 的。记
[0214] 和比较定理知X(t) ^X(t)(t> 0)，其中S川为（1. 2. 1)的解，因为任意解当t一- 时接近于所有由引理2. 2. 1知，存在T3〉0,使得;c(t) <x:(〇+ /;，（t含T，）。为简单起见.、'(0 <x:(〇 '十友3(t> 0)，则
[021 引
[0引引由比较定理知Z(t)>3(t)(t>0)，其中乏(0为化2.。的解（与z(t))有相同 的初值。因为当t一 -时，任意解接近于（t)，故由引理2. 2. 2可知，存在T4〉0,使得 z(t) >Z:;: (t) -(t> 了4)。为简单起见，设Z(0 >Z(0 _ 么',（I> ())。
[0217] 由y(t)最终有界可知，存在TgX)，使得y(t)<M(t>Ts)，其中M为有界常数。为简 单起见，设y(t)<M(t> 0)。注意到g2(y(t)) >Cg2y(t)(t> 0)，贝ij
[0225] 从而由周期性可知
[022引 y((n+L)T)《y((n+kl)T)C和y((n+L)T)《y(LT)写n
[0227]该说明当 时，y((n+L)T) - 0,进而
[0234] 下面将证明当t一 时，x(t) -jc:的^ 0。为此，令〇<er/L1，由 7似一0(1:-〇°)可知，存在7(1:)<￡4(*>了6)。为简单起见，设7(1:)<￡4(*>0)。当t声（n+L-l)T，t声（n+l)T时，
[0235]
[023引 由比较定理得交|(1) <x(0 <a:2(i)，其中文2为化2. 1)的解，义1为将化2. 1) 中r换成r-Lie4的解（与X有相同的初值）。因为当t一-时，该些解分别接近于X,' (t) 和(t)，所w当t足够大时，
[0237]
[023引类似地，可W证明当t时，W^z:,^(t) ^ 0，证毕。
[0239] 2. 3)模型2. 1. 1的仿真分析
[0240] 在满足系统生物学意义的前提下，选择一组数据对系统化1. 1)在Matl油中进行 模拟，数值选取如下：
[0241] T= 3；L= 0. 07；r= 1. 6；k= 5 ；a= 0. 5；al= 1. 5 ；n= 0. 4 ；a2 = 0. 5 ；
[024引 e= 0. 5;dl= 0. 2 ;d2 = 0. 5 ; 5 1 = 1. 65 ; 5 2 = 1. 45 ; 5 3 = 1. 2;x(1) = 0. 5 ; y(1) = 0. 3；z(1) = 0. 5 ；
[0243] 选择则得到图2-l-a、b和c，由图可W看出，当时，藍藻和消费者都是灭绝的，而館 鱼则渐进稳定，即从而证明了定理2. 2. 2的结论1的正确性。
[0244] 由图2-l-a、b和C，当所选择的数据满足ln(l-Ei)+rT〉0时，可W看出，系统
[0245] (2. 1. 1)的周期解（〇，()，(0)是不稳定的。
[0246] 当满足ln(l-Ei)+rT《0时，从图2-2-a和b可W看出藍藻和消费者的密度迅速 减少为0,而从图2-2-C看出館鱼最终局部稳定，则定理（2.2.2)中的结论（1)是正确的。
[0247] 当满足In(l-Ei)甘TXK
[024引
，从图2-3-a、b和C可 W看出则定理化2. 2)中的结论是正确的。
[0249] 本模型是在式1. 1. 1数学模型的基础上，将一个固定脉冲时刻投放和收获的=种 群模型改进为两脉冲时刻的=种群模型，并在前面的基础上针对数学模型分析与数学推 导，得出了系统周期解存在的条件W及系统局部稳定性的充分条件。从Matlab仿真的结果 来看，将投放和收获置于一个周期内的两个脉冲时刻，得到效果要比同一时刻的更好，也即 藍藻和館鱼最终都将稳定在一个比较小的范围之内，从而证明了数学模型的可行性和有效 性。
【主权项】
1. 一种针对蓝藻问题的治理方法，是采用生物控制方法，其特征是包括步骤： (一）建立蓝藻问题的治理算法；（二）根据治理算法给出的固定时刻投放和收获食藻 类水产，从而针对蓝藻问题的进行治理； 所述步骤（一）中： 1) 建立脉冲控制策略的三种群捕食系统 1. 1)该系统模型如下微分方程描述：其中， x(t)为蓝藻的种群密度，y(t)代表着消费者的种群密度，z(t)为鲢鱼的种群密度，al 为蓝藻的种群密度增长率，a2为消费者的种群密度增长率，a3为鲢鱼的种群密度增长率， α>ο, β>ο代表蓝藻和消费者之间的竞争参数，η>〇和μ>〇为分别为蓝则和消费者的减少 率，d>0为鲢鱼的转化率， Δχ = x(t+)-x(t)，Ay = y(t+)-y(t)，Δζ = z(t+)-z(t)，T 为脉冲周其月，η = 1，2...， δ >0为鲢鱼在t = ηΤ时刻的收获率，ρ>0, ρ表示在t = ηΤ时刻（即脉冲时刻）投放鲢鱼 的投放量； 竞争参数是指两种群之间相互作用而使另一方密度减少的系数，α表示消费者与蓝藻 竞争使蓝藻密度减少的系数、β表示蓝藻对消费者的作用系数，α和β -般取值在[〇，1] 之间； η表示鲢鱼以蓝藻为食使蓝藻密度减少的系数，μ表示鲢鱼以消费者为食使消费者 密度减少的系数； d表示鲢鱼的转化率，转化率是指鲢鱼以蓝藻和捕食者为食使鲢鱼自身种群密度增加 的系数； t为时间，T为脉冲周期，η = 1，2, 3···;这里，消费者是指中间捕食者，也以藻类为食； 式（1. 1. 1)模型搭建了鲢鱼投放和收获发生在统一脉冲时刻； 2) 建立具有两脉冲时刻投放和收获的三种群生物动力系统 1. 1)该系统模型描述如下： 对建立脉冲控制策略的三种群捕食系统模型（1. 1. 1)进行改进：加入了蓝藻依赖型的 X：(t) 功能性函数将脉冲投放和脉冲收获置于两个不同的时刻；对消费者引 入一个固定周期收获，且对藻类进行化学防治，然后在t = n T时定时释放鲢鱼，在式I. I. 1 基础上，得到本系统模型如式2. I. 1所示：在消费者和鲢鱼种群密度较小的情况下，蓝藻种群的增长满足Logistic函数； r为内禀增长率，k为环境容量，r/k为种群内竞争系数，α、β分别为转化率，(^、七分 别为消费者和鲢鱼死亡率； L表不另一个脉冲时刻的测度； 常数E1、E2、E3分别为由于采用额外控制措施，使得蓝藻的种群密度、消费者的种群密度 和鲢鱼的种群密度减少的比例，T>0,0〈L〈1，0彡Ei、E2、E3〈l ;为Holling II类函数即功能性反应函数，它们 分别依赖于蓝藻和消费者的种群密度，并且满足：F(X) e C^F(X) eR+，F(O) =0, F(X)/x 是单调递减的其中，C1为复数域、R+为正。
【专利摘要】一种针对蓝藻问题的治理方法，包括步骤：(一)建立蓝藻问题的治理算法；(二)根据治理算法给出的固定时刻投放和收获食藻类水产，从而针对蓝藻问题的进行治理。在步骤(一)中，本发明提出了具有两脉冲时刻投放和收获的三种群生物动力系统。通过数学模型分析与数学推导，得出了系统周期解存在的条件以及系统局部稳定性的充分条件。从Matlab仿真的结果来看，将投放和收获置于一个周期内的两个脉冲时刻，得到效果要比同一时刻的更好，也即蓝藻和鲢鱼最终都将稳定在一个比较小的范围之内，从而证明了数学模型的可行性和有效性。
【IPC分类】G06F17/50, C02F3/32
【公开号】CN104881556
【申请号】CN201510345347
【发明人】顾洲, 高莉, 庄宝春
【申请人】南京林业大学
【公开日】2015年9月2日
【申请日】2015年6月19日
