考虑空间作用的线性变截面柱的稳定承载力计算方法

考虑空间作用的线性变截面柱的稳定承载力计算方法
【技术领域】
[0001] 本发明设及建筑施工设计技术领域，尤其设及一种考虑空间作用的线性变截面柱 的稳定承载力计算方法。
【背景技术】
[0002] 钢管锥形柱作为重要的结构支撑构件，常常被大型复杂大跨空间结构所采用，如 机场或体育场馆等。其稳定承载力的设计计算方法非常重要。但现有相关钢结构规范，一 方面未明确给出空间结构中大型支撑柱子考虑整体空间作用的稳定计算长度的确定方法， 另一方面尚未有该类锥形钢结构柱子的设计稳定承载力计算公式。造成目前工程中，尚无 对结构整体空间作用下锥形钢柱稳定承载力其进行合理的设计校核的问题。
[0003] 本发明方法W大型空间有限元特征值精确的屈曲分析为工具，W弹性稳定性理论 为基础，综合运用现有有的梭形钢柱的设计规范的稳定性设计公式，提出了考虑整体空间 作用的到钢管锥形柱的设计计算长度计算方法及稳定承载力计算一整套计算步骤和方法， 为锥形钢柱合理的校核与设计提供计算方法和支撑。发明具有重要的工程实用价值和显著 地社会效益。

【发明内容】

[0004] 本发明要解决的技术问题在于针对现有技术中的缺陷，提供一种考虑空间作用的 线性变截面柱的稳定承载力计算方法。
[0005] 本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：
[0006] 一种考虑空间作用锥形变截面柱的稳定承载力计算方法，包括W下步骤：
[0007] 1)在大跨度复杂空间结构的整体空间精确有限元模型中，释放对计算目标柱子 上端部的侧移约束，在柱端施加轴向荷载，对结构进行整体的特征值屈曲分析，计算得到考 虑整体空间作用的特征值临界荷载N"及对应的屈曲模态；
[000引 2)通过单独目标柱的有限元建模分析，计算得到无空间作用的两端较支柱的特征 值屈曲承载力
[0009] 3)根据N"和N"。计算考虑整体空间作用的计算长度系数y，其中3
[0010] 4)根据两端较支的梭形柱截面等效为小端等截面柱的修正的计算长度系数 Ueff'，获得下端固定上端自由时目标锥形钢管柱等效计算长度系数Ueffi;
[0011] 5)根据计算上下端较支锥形柱的小端等截面等效计算长度系数y,ff。，
[0012]
[0013] 其中，N"i为上端自由下端固定锥形钢管柱的欧拉临界力；
[0014] 6)计算考虑整体空间作用的锥形柱计算长度系数 W〇1 引yeff=yyef防；
[0016] 7)根据考虑整体空间作用的锥形柱计算长度系数计算锥形钢管柱的压弯稳 定承载力。
[0017] 按上述方案，还包括步骤8)根据考虑整体空间作用的锥形柱计算长度系数 进行锥形钢管柱的压弯稳定承载力校核，具体方法如下：
[0018] 8. 1)根据考虑整体空间作用的锥形柱对应的小端等截面柱的等效计算长度系数 Ueff，得到考虑整体空间作用的锥形柱对应的小端等截面柱的长细比入。ff，
[0019]
其中，A。为小端净面积，
[0020] 8. 2)根据长细比Acff计算对应的考虑整体空间作用的锥形柱的等效稳定系数與；
[0021] 8. 3)根据规范GB50017进行承载力校核；
[0022]
[0023] 其中，根据规范，对于无支撑框架体系，1，考虑塑性屈服准则，代入塑性发 展系数丫 = 1. 15 ;对应于Awf的欧拉临界荷载为；
[0024] 本发明产生的有益效果是：
[0025] 该发明方法W稳定基本理论为基础，运用大型有限元软件，结合现有规范，实现了 对新型变截面钢管柱的稳定性评估验算，方法实用。
【附图说明】
[0026] 下面将结合附图及实施例对本发明作进一步说明，附图中：
[0027] 图1是本发明实施例的方法流程图；
[002引图2是本发明实施例的整体结构空间作用下目标柱的特征值临界荷载N"及对应 的屈曲模态示意图；
[0029] 图3是单独目标柱无空间作用的两端较支锥形柱屈曲特征值N"。及模态；
[0030] 图4是本发明实施例的梭形锥形钢管柱与上小下大的锥形钢管柱的等价关系图；
[0031] 图5是目标柱上端自由下端固定锥形柱屈曲模态N"及模态；
[0032] 图6是本发明实施例的校核结果图。
【具体实施方式】
[0033] 为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，W下结合实施例，对本发明 进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用W解释本发明，并不用于限 定本发明。
[0034] 如图1所示，一种考虑空间作用的线性变截面柱的稳定承载力计算方法，包括W 下步骤：
[0035] 1.考虑整体空间作用的计算长度系数y
[0036] 为了计算长度系数y，W弹性理论为基础，两端较支锥形变截面柱的轴屯、受压特 征值屈曲的欧拉临界承载力N"。可W表示为：
[0037]
(1)
[003引 I。为小头惯性矩。其中系数K根据锥形柱惯性矩I(x)的表达式给出。上式具体 的理论推导过程详见跑化1。由式子（1)可知，同等截面欧拉公式柱一样，锥形柱的计算长 度与欧拉临界荷载N"的开方之间仍满足平方的反比关系。
[0039] 在实际中，由于锥形柱子的柱子两端往往不是理想的较支约束，当存在其他的约 束条件时，同理想的较支约束相比，将具有不等于1的计算长度系数U，其轴屯、受压欧拉特 征值屈曲承载力可表示为：
[0040]
(2)
[0041] 若两端约束为较支时，式中y可取^。= 1，则式（2)即退化为（1)。
[004引将式（1)与式（2)两边相除，则可得考虑整体空间作用的计算长度系数y的计算 公式：
[0043]
(3)
[0044] N"为柱子在结构整体空间作用下柱的特征值，N为柱子在两端较支约束条件下 的特征值屈曲临界荷载，y为考虑结构整体空间作用的计算长度系数。
[0045] 步骤1. 1)考虑整体空间作用的锥形柱特征值荷载N"
[0046] 依据现有的规范设计理论，整体空间作用对柱子构件的稳定性承载力影响包含两 个方面：
[0047] 1、与柱端连接的梁或者屋面网架对柱端转动的约束作用：
[0048] 2、整体结构中其他杆件对柱端侧移的约束作用：在规范《钢结构设计规范 GB50017》w中，根据结构整体抗侧移刚度，柱子的整体失稳形态包含无侧移和有侧移两种。 是否设置足够的支撑、剪力墙、筒体等抗侧移体系。
[0049] 对于有侧移结构体系，规范《GB50017》W中在具体计算时还偏于安全的假定该层 其他所有柱子均已屈曲，忽略整体结构体系中其他柱子对支撑柱上端的侧向约束。在规范 附录D给出了有侧移空间作用计算长度系数的计算表格。但是目前在规范《GB50017》w附 录D只给出了平面规则框架体系考虑空间作用的近似计算长度系数。
[0化0] 对于大型复杂的空间结构，本发明基于上述规范同样的思想，综合上面两个因素， 在大跨度复杂空间结构的整体空间精确有限元模型中，释放对计算目标柱子上端部的侧移 约束，在柱端施加轴向荷载，对结构进行整体的特征值屈曲分析，可计算得到考虑整体空间 作用的特征值临界荷载N"及对应的屈曲模态。
[0051]例；W某空间结构为例，通过空间整体模型计算的有侧移的屈曲特征值N"及对 应的屈曲模态，可求得目标柱的（图2中标注）考虑整体空间作用的特征值临界荷载N" = 8. 46E7N，失稳方向Y向。
[0化2] 步骤1. 2)无空间作用的两端较支柱的特征值屈曲分析N"。
[0化3] 通过建立有限元计算分析模型，可单独建立两端较支的锥形柱两端较接目标柱， 并进行特征值屈曲分析。可W精确地得到实际两端较支的锥形变截面柱的轴屯、受压特征值 屈曲的欧拉临界承载力N"，避免采用理论公式的进行复杂的理论求解。
[0054]例：仍W该柱子为例，通过空间整体模型计算的有侧移的屈曲特征值N"及对应的 屈曲模态。可求得无空间作用的两 端较支柱的特征值屈曲分析N"u= 1.09X10 8N，见图3。 [0化5]步骤1. 3)考虑整体空间作用的计算长度系数y
[0056] 将上述N"，N"。带入公式做可得到考虑结构整体空间作用的柱子计算长度系数 y。
[0057] 例：仍W该柱子为例：
[005引
[0059] 2.上下端较支锥形钢管柱的等效计算长度系数Wcff。
[0060] 目前在《钢结构设计规范（GB50017)》[1]中只给出了等截面钢管柱的稳定计算公 式，目前尚未有规范给出锥形变截面钢柱的计算长度及稳定承载力的计算方法。在《钢管 结构技术规程（CECS280;2010)》[5]中，基于同样稳定承载力的原则，给出了梭形钢管柱 与小端等截面钢管柱对应的等效计算长度系数的计算公式，再代入《钢结构设计规范 (GB50017)》，通过两个规范的衔接，实现对梭形钢管柱的稳定承载力验算。
[0061] 然而，对如何进行锥形柱等线性变截面柱，并考虑整体结构空间作用下的实际稳 定承载力的验算，目前尚为空白。
[0062] 根据弹性稳定理论，两端较接的梭形锥形钢管柱的欧拉临界荷载与下端固定上端 自由的上小下大的锥形钢管柱存在稳定承载力N"存在着等价的关系。如图4所示。本 发明利用该等价关系，将进一步根据目标柱的实际空间约束状态，最终建立目标锥形柱与 小端等截面钢管柱对应的等效计算长度系数的计算公式。W此与《钢结构设计规范 (GB50017)》[1]衔接，实现锥形钢管柱的稳定承载力验算。
[0063] 因此，先计算下端固定上端自由单独锥形钢管柱等效计算长度系数
[0064] 步骤2. 1):下端固定上端自由锥形钢管柱等效计算长度系数
[00化]根据《钢管结构技术规程（CECS280 ;2010)》[5]，两端较支的梭形柱截面等效为小 端等截面柱的修正的计算长度系数Uwf'为
[0066]
[0067]di为大截面的直径，d。为小截面的直径。两端较支梭形柱的等效长细比Awf'为：
[0068]
[0069] 式中，梭形柱子的等效惯性矩Lff的计算公式为：
[0070]
[0071] I。小截面的惯性矩，I1为大截面的惯性矩，A。为小端净面积，t为钢管厚度。其具 体表达式为
[0075] 考虑到等价关系，如图4所示，下端固定上端自由锥形柱子的等效计算长度系数 yem满足
[0076] yem=yeff' (4)
[0077] 下端固定上端自由锥形柱子的等效计算长度Lff满足：
[0078] leff=化 妨
[0079] 带入式子即可得到下端固定上端自由锥形柱子的等效长细比Acffi;
[0080]
[0081] 将此等效长细比带入规范《钢结构设计规范（GB50017)》山，可实现对下 端固定上端自由单独锥形钢管柱的稳定承载力验算。
[0082] 例；仍然W该柱为例：
[0090] 步骤2. 2):上下端较支锥形钢管柱的等效计算长度系数ywf。
[0091] 现有规范山中稳定承载力计算方法，W及弹性稳定理论凹有关欧拉临界特征 值屈曲承载力公式（2)均表明，同一个构件在不同约束条件下的稳定承载力的差异，只与 其计算长度系数有关。上下端较支锥形钢管柱与上端自由下端固支锥形钢管柱，为不同约 束的相同锥形变截面柱。因此，上下端较支锥形钢管柱的等效计算长度系数，可进一步由上 端自由下端固支锥形钢管柱的等效计算长度系数得到。
[0092] 首先根据公式（3)，上端自由下端固支锥形钢管柱的计算长度系数为：
[0093]
[0094] 式中，N"。为上下端较支锥形钢管柱的欧拉临界力，N"i与上端自由下端固支锥形 钢管柱的欧拉临界力。两者通过有限元特征值建模和分析屈曲分析得到。带入进而得到其 计算长度系数。
[0095] 对比上下端较支柱和上端自由下端固支柱的计算长度和等效计算长度的关系：
[0096]
[0097] 其中y。为上下端较支柱的计算长度，将两端较支座柱子的计算长度y。=1带入 式巧），可得到上下端较支锥形柱的小端等截面等效计算长度系数为
[009引
[0099] 式子中，Weffi为下端固定上端自由锥形柱子的等效计算长度系数，N"。为上下端 较支锥形钢管柱的欧拉临界力，N"i与上端自由下端固支锥形钢管柱的欧拉临界力。
[0100] 例；仍然该柱为例，对单独小端自由大端固定的锥形柱，进行的特征值屈曲分析计 算，得到N"1= 3. 7E7N。见图5.
[0101] 结合步骤1.。的两端较支锥形柱的特征值屈曲分析得到的临界力N"。，带入公式 (7)可得到上端自由下端固支锥形钢管柱的计算长度系数
[0102]
[010引将和步骤2. 1)得到的yWfi，带入公式（9)即可可得该上下端较支锥形钢管 柱的等效计算长度系数
[0104]
[01化]步骤2. 3):考虑整体空间作用的锥形柱计算长度系数ycff
[0106] 综合上述考虑整体空间作用锥形柱的计算长度系数y(步骤1)，及上下端较支锥 形柱的小端等截面等效计算长度系数yeff。（步骤2)，那么考虑整体空间作用的锥形柱的等 效计算长度系数可表示为：
[0107] Ueff= y y effO (10)
[010引将步骤1的公式做及步骤2的公式（9)带入公式，最终得到：
[0109] 〇
[0110] N"为考虑整体空间作用的特征值临界荷载，N"1为上端自由下端固支锥形钢管柱 的特征值临界荷载临界力。Uwf'为2倍锥形柱长所对应的两端较支梭形柱的等效计算长 度系数（见步骤1. 3)。
[0111] 例；仍然该柱为例，综合考虑整体空间作用锥形柱的计算长度系数y，上下端较 支锥形柱的小端等截面等效计算长度系数Weff。，那么考虑整体空间作用的锥形柱的等效 为小端截面的计算长度系数可表示为：
[011引Ueff=yyef防=1. 123X0. 48 = 0. 54
[0113] 3.锥形钢管柱的压弯稳定承载力校核
[0114] 3. 1考虑整体空间作用的锥形柱的轴压承载力稳定系数界W
[0115] 将根据考虑整体空间作用的锥形柱对应的小端等截面柱的等效计算长度系数 Ueff，带入《钢管结构技术规程（CECS280 ;2010)》[5]5. 1.8条，可得到考虑整体空间作用的 锥形柱对应的小端等截面柱的长细比入。ff
[0116]
[0117] 各参数物理意义已在前述章节中给出。将式的结果带入GB50017的5. 1.2条计算 得到对应的考虑整体空间作用的锥形柱的等效稳定系数疗，
[011引
[0120] ^。1为L长线性锥形柱的正则化长细比，而系数a1、a2、a3查GB50017-2003的 附录C，表C-5可得。
[0121] 3. 2考虑整体空间作用的锥形柱的压弯承载力校核
[0122] 根据，实际锥形钢管柱的轴压承载力稳定系数>，并根据规范GB50017[1]公式 5. 2. 2 ；
[0123]
[0124] 根据规范，对于无支撑框架体系，1，考虑塑性屈服准则，代入塑性发展系 数丫 = 1. 15。对应于Acff的欧拉临界荷载为；
[0125]
[0126]带入巧资，对上式佑B50017-2003 ;5. 2. 2-1)通过编程，可绘出目标柱的N-M极限 承载力图。并将计算结构整体设计计算所考虑的各种荷载组合工况下（如恒荷载、活荷载、 风荷载、地震作用、温度作用等）的结构N，M内力效应一并绘制，即可实现对结构的稳定承 载力的验算和安全校核。
[0127] 例：仍W该柱为例，由佑B50017-2003 ;5. 2. 2-1) [1]公式，可计算得到该柱子的 N-M极限承载力曲线。并和465荷载组合工况分析计算得到的柱子两端在的的N-M设计荷 载绘制一同标注，可清晰的判断该柱子设计荷载处于的N-M极限承载力曲线的包络之内， 表明该柱子的截面符合 设计要求，并有相当的富余承载力。如图6所示。
[0128] 应当理解的是，对本领域普通技术人员来说，可W根据上述说明加W改进或变换， 而所有该些改进和变换都应属于本发明所附权利要求的保护范围。
[0129] 附件 1
[0130] 两端较支锥形变截面柱的轴屯、受压临界承载力N"。的理论推导
[0131] 1.平衡微分方程建立
[0132] 不失一般性，两端较支锥形变截面柱的平衡微分方程为：
[0133]
[0134] 其对应的边界条件为
[0135]
[0136]
[0137] y(0) = 0;y(0) " = 0 ;
[013引 （公式附-2)
[0139] y(L) = 0;y(L) " = 0 ;
[0140] 锥形柱的惯性矩I(X)的通用表达式为：
[0141]
(公式附-3)
[0142] 式中，k。，ki，k2，k3由锥形柱的截面形式所决定的。a为锥形柱的外交延伸长度，若 对于图中所示锥形圆管柱，其截面惯性矩I(x)可表示为：
[01创
（公式附-4)
[0144] 其中d(x)为梭形薄壁圆钢管柱的外径，t为钢管的厚度，令d。为锥形圆管柱顶端 的外径，令di为锥形圆管柱底端的外径。则有：
[0145]
[0146] 将式（附如和式（附4)右边等价，则可知k。，ki，k2,ks分别为：

[0151] 将式（附如带入式（附1)，可W得到平衡微分方程为：
[0152]
(公式附-5)
[0153] 2.平衡微分方程求解
[0154] 对上述线性微分方程逐项次求解满足边界条件的特解。
[0155] 2. 1 0次项特解山（P6)
[0156] 公式（附W中含有X的0次项，即为著名欧拉平衡方程：
[0157]
(公式附-6)
[0158] 其满足边界条件的特解的P"。的可表达为式，其推导过程从略：
[0159]
(公式附-7)
[0160]其中K〇=3i2k。
[0161] 2. 2-次项特解
[0162] 含有X的一次项的P"。的平衡表达式：
[01例
（公式附-8)
[0164]采用Raylei曲-Ritz能量方法，取广义坐标函数.v,.(.\') =sin^，位移函数y(x)可W展成无穷级数：
[0170] 外力功可表示为
[0177] 2. 3二次项特解[1](P126-P130)
[017引含有X的二次项的平衡方程表达式；
[0179]
(附11)采用直接方法求解方程（附11)。首先对X进 行变量代换，有：
[0180]
[0181] 故y关于X的导数有；
[0184] 则平衡方程（附11)公式右边第一项可W表示为：
[0185]
[0186] 方程（附11)最终可W表示成关于Z的微分方程：
[0190] 其中A、B是满足边界条件的实常数。
[0194] 令k4=I。/%，在两端较支座支承的情况下，带入边界条件，可导出e的方程如 下：
[01 巧]1-2 0cot(2 0Ink) = 0
[0196] 该超越方程为超越方程，e的求解易通过数值方法得到。将e代入式（附13)便 可得出临界力：
[0199] 2. 4S次项特解巧](P82-P85)
[0200] 含有X的3次项的平衡微分方程为：
[0201]
(附16)
[0202] 由贝塞尔函数积分可得：
[0206]式中Ii和N1-------阶的第一类和第二类圆柱函数
[0207] 由两端较接边界条件导出关于辅助量n的方程：
[020引
（附17)
[0209] 其中
[0210] k?=I〇/Ii
[0211] 从式（附17)中可W解得n，进而可得：
[0212]
[0213] 其中馬为稳定性系数：
[0214] K3=[ri(l-k2)]2 (附18)
[02巧]2. 4各项叠加
[0216] 综合上述含有X的0次，1次，2次，3次的变系数微分方程的特解，将式附10式，附 15式，附18式叠加可得最终N"。的解的表达式为：
[0217]
[0218] 可简化表示为
[0219]
[0220] 式中K定义为变截面影响系数；
[0221]
[0222] 可见，两端较支锥形变截面柱的轴屯、受压特征值临界承载力N"。，可表达为与欧拉 临界荷载公式相似的简单公式。
[0223] 附件参考文献
[0224] [1].TimoshenkoS.P. &GereJ.M."Theoryofelasticstability.Ney York:McGray-Hi11BookCompany. 1961
[0225] 口].A.H.Dinnik.纵向弯曲扭转.上海：上海科学技术出版社.1962
[0226] 巧].王元明.数学物理方程与特殊函数[M].北京：高等教育出版社， 2004.:130-145 。
【主权项】
1. 一种考虑空间作用的线性变截面柱的稳定承载力计算方法，其特征在于，包括以下 步骤： 1) 在大跨度复杂空间结构的整体空间精确有限元模型中，释放对计算目标柱子上端部 的侧移约束，在柱端施加轴向荷载，对结构进行整体的特征值屈曲分析，计算得到考虑整体 空间作用的特征值临界荷载N ra及对应的屈曲模态； 2) 通过单独目标柱的有限元建模分析，计算得到无空间作用的两端铰支柱的特征值屈 曲承载力Nratl; 3) 根据NcJP Nratl计算考虑整体空间作用的计算长度系数μ，其中4) 根据两端铰支的梭形柱截面等效为小端等截面柱的修正的计算长度系数Urff'，获 得下端固定上端自由时目标锥形钢管柱等效计算长度系数μ effl; 5) 根据Urffl计算上下端铰支锥形柱的小端等截面等效计算长度系数μ其中，Nral为上端自由下端固定锥形钢管柱的欧拉临界力； 6) 计算考虑整体空间作用的锥形柱计算长度系数μ rff， Ueff= u u eff〇； 7) 根据考虑整体空间作用的锥形柱计算长度系数μ #计算锥形钢管柱的压弯稳定承 载力。2. 根据权利要求1所述的承载力计算方法，并包括步骤8)，其特征在于：根据考虑整体 空间作用的锥形柱计算长度系数Urff进行锥形钢管柱的压弯稳定承载力校核，具体方法如 下： 8. 1)根据考虑整体空间作用的锥形柱对应的小端等截面柱的等效计算长度系数y eff， 得到考虑整体空间作用的锥形柱对应的小端等截面柱的等效长细比λ eff，其中，Atl为小端净面积， 8.2)根据等效长细比Xrff计算对应的考虑整体空间作用的锥形柱的等效稳定系数 8. 3)根据规范GB50017进行承载力校核：其中，根据规范，对于无支撑框架体系，β?= 1，考虑塑性屈服准则，代入塑性发展系 数γ = 1. 15 ;对应于Arff的欧拉临界荷载为
【专利摘要】本发明公开了一种考虑空间作用的线性变截面柱的稳定承载力计算方法，该方法以大型空间有限元特征值精确的屈曲分析为工具，以弹性稳定性理论为基础，综合运用现有的梭形钢柱的设计规范的稳定性设计公式，提出了考虑整体空间作用的到钢管锥形柱的设计计算长度计算方法及稳定承载力计算一整套计算步骤和方法，为锥形钢柱合理的校核与设计提供计算方法和支撑。发明具有重要的工程实用价值和显著地社会效益。
【IPC分类】G06F19/00
【公开号】CN104881565
【申请号】CN201510127426
【发明人】汪大海, 史青宇, 袁理明
【申请人】武汉理工大学
【公开日】2015年9月2日
【申请日】2015年3月23日