一种磁纳米粒子粒径表征方法
专利名称：一种磁纳米粒子粒径表征方法
技术领域：
本发明涉及纳米测试技术领域，具体涉及一种磁性纳米粒子的粒径表征方法。
背景技术：
磁纳米粒子(magnetic nanoparticles，简称MNP)采用1 100nm尺度的磁性 微粒胶体作为新一代分子生物标记与控制技术，为活体内特定生物事件的远程控制提供可 能。然而，纳米尺度信息获取的特别之处在于海森堡测不准效应逐渐显现，测量结果表现为 分布函数而非一个固定的量。 一般而言，分布函数往往通过统计过程而获得，这就意味着高 精度与实时性之间的平衡。原子力显微镜(AFM)、透射电子显微镜(TEM)为代表的经典力 学、光学统计纳米测试技术说明，目前为止基于统计方式方法的粒径表征技术尚不具备在 线实时测试能力。 基于磁共振成像技术的经验，研究人员认为磁学测量方法具备在复杂介质条件下 的远程测控能力，或将为磁纳米粒子在线实时检测提供技术可行性。基于这一认识，研究 人员对磁纳米粒子的磁表征技术进行了深入研究。德国耶拿大学的波科夫(D.V.Berkov) 教授率先将磁学测试技术应用于MNP粒径分布表征，他将粒径分布函数作为磁化模型矩阵 方程的一个未知变量，进而采用矩阵奇异值(Singular Value Decomposition, SVD)求逆 的思路进行求解，直接获得整体粒径分布信息。由于Berkov等人对磁化曲线矩阵方程的 不适定特性认识不足，求解结果在局部出现了较为严重的虚假震荡信号。随后，日本九州 大学的圆福敬二 (Keiji Enpuku)采用交流磁化率的方法对溶液中的磁纳米粒子标记物进 行粒径分布函数的估计，并对该方法的估计结果与动态光散射(optical dynamic light scattering)的结果进行了比较，认为其与SVD方法吻合较好，然而该方法依然没有解决甚 至没有提及虚假震荡问题。发明人在之前的研究中已发现了 SVD方法在小粒径估计上一致 性较好，而虚假震荡往往出现在大粒径估计上，但也一直没有找到有效处理办法。虚假震荡 成为进一步提高SVD粒径估计测量上限的障碍。客观存在的测量误差、有限计算精度与时 间响应速度等等信息的不确定性，造成粒径分布测量问题中的虚假震荡。然而，到底是哪种 因素起主要作用，以及是否可以通过优化的方法得到改善，这一类问题尚未得到明确的结 论。
发明内容
本发明的目的在于提供一种磁纳米粒子粒径表征方法，克服现有技术采用奇异值 分解方法求解粒径分布时带来的虚假振荡现象，并发现蕴藏于粒径分布函数中的二次粒子 信息，从而提高粒径的表征精度。
—种磁性纳米粒子的粒径表征方法，具体为首先确定离散磁化曲线的取样点Hp i = 1…Z，取样点数Z^21，再获取磁纳米粒子胶体溶液的离散磁化曲线M(Hi)，最后依据离 散磁化曲线求解获取粒径分布曲线；其中，离散磁化曲线的取样点Hi，按照如下方式确定
(al)初始化Hi，满足& < Hi+1， Xl = - °o ， xz+1 = + oo ;
(a2)计算 <formula>formula see original document page 4</formula> (a3)更新A = ;~ ， p (x)为量化器输入信号x的概率密度函数；
丄 (a4)计算<formula>formula see original document page 4</formula> (a5)若o 2 <容许误差阈值e ，则结束；否则返回步骤(a2)。 本发明的技术效果体现在本发明通过对磁纳米粒子磁化曲线进行傅里叶分析，
得到给定容许误差条件下表征磁化曲线所需的最小离散化点数，然后依据改进的最优量化
理论所得到的离散化策略，降低郎之万超顺磁磁化数值方程的条件数，从而进一步抑制不
适定特性引起的虚假振荡信号，使得首次从粒径分析的角度发现了二次粒子的粒径信息及
其在不同浓度中的分布状态。
图1为本发明的流程示意图。 图2为磁化曲线的频域特性示意图，其中图2(a)为激励磁场离散化步长为 0.01Gauss时磁化曲线的幅频特性示意图，图2(b)为图2(a)中曲线对最大值的归一化曲线 结果示意图，图2(c)为激励磁场离散化步长为0. OlGauss时磁化曲线的相频特性结果示意 图。 图3为磁化曲线30点离散化的最优量化求解结果示意图，其中图3(a)为30级递 减量化级数中的第30、29、28、27、26级以及第21、16、11、1级，图3 (b)为30级递减量化过 程中的第5、4、3、2与1级。 图4为离散化优化过程的矩阵A条件数的变化示意图。
图5为实施例粒径分布结果对比示意图。
图6为实施例粒径分布结果对比示意图。
具体实施例方式
本发明在对分析模型的磁化曲线进行傅里叶分析的基础上，得出在给定容许误差 下表征磁化曲线所需的最小离散化点数。然后在劳埃德-马克斯(Lloyd-Max)最优量化方 法的基础上提出了一种基于误差加权的最优量化方法，将其应用在根据磁纳米粒子的磁化 数值方程求解粒径分布函数的问题上，可降低矩阵方程的条件数，从而提高求解精度。参照 图l，具体步骤为 1)选取离散磁化曲线的取样点Hi， i = 1…Z。
1. 1)取样点数的确定
1. 1. 1)建立分析模型 分析模型为具有对数正态分布的MNP粒径分布函数，具体可分为两组其一是在 固定粒径分布函数分布方差为0. 3的基础上，根据现有所生产的磁纳米粒子的粒径大小， 选取粒径均值为7. 6nm， 12nm与18nm ;其二是在固定均值7. 6nm的基础上，方差分别设定为0. 3、0. 5与0. 8。 1. 1. 2)分析模型磁化曲线的频域磁性物理中常研究的磁化曲线服从表达式(1)
;r￡>3
M(/0〈Z(Ai/)^"/(D)必 (1)
其中L()表示郎之万方程，D表示纳米粒子直径，f()表示粒径分布函数，H为外加磁场。 在方程(1)中将粒径分布函数f (D)与励磁磁场H分别离散化，则磁化曲线响应方 程变为方程式(2) M(//,) = |>。M^Z)/4//。Md》/// /(￡>》A￡)"/ = l...Z (2) 其中N代表粒度分布函数的取样点数，Z是励磁磁场Hi的取样点数，P。代表真空 的磁导率，Md代表材料的饱和磁矩，为圆周率，Dj为粒径的第j个取样值，k为玻尔兹曼 常数，T为绝对温度，ADj为粒径的离散化步长。 对于方程(2)所描述的磁化过程，激励磁场H的离散化策略决定了测试时间的长 短也就是测试的实时性，更直接决定了M(H)曲线信息获取的质量。信息学研究指出，离散 化过程的采样问题通常可归结到仙农采样定理。为了实现这一目的，将步骤l. 1. 1)建立的 分析模型的两组粒径分布函数分别代入方程(2)，对方程(2)进行傅里叶变换，得到磁化曲 线的频谱信息，如图2所示。其中Al， A2， A3分别表示磁纳米粒子粒径分布函数方差均为 0. 3，而均值分别为7. 6nm， 12nm， 18nm时的磁化曲线的频谱，Bl， B2分别表示磁纳米粒子粒 径分布函数均值均为7. 6nm，而方差分别为0. 5和0. 8时的磁化曲线的频谱。
从图2的频谱分析认为，如果对磁化过程进行21点的离散化，其频谱信号幅值已 经衰减到最大值的5% ;30点时信号幅值已经衰减到最大值的3. 5% ;100点时信号幅值已 经衰减到最大值的约1%。当然，还可以看出统计的效果，在大于50点以后X轴与对数坐 标Y轴基本上服从线性变化，也就是符合误差统计理论中关于方差与采样点数的二次方根 成反比这一理论预期。容许误差一般在5%以下，因此采样点数应不少于21点，考虑到采样 点数的多少决定了测试时间的长短，推荐取21 50点。 从归一化曲线看来，不同粒径分布的磁化曲线最终的频谱基本一致，这说明这一 类磁化曲线的分布具有相同的特征。此外，图2(c)表明磁化曲线的相频特征也基本相同。 频域的特征相同意味着"时域"也具备某种相同的特征。因此，这暗示着对于不同的粒径分 布的MNP磁化曲线可以采用一种统一的离散化策略。
1.2)取样点位置确定。 对磁化曲线的离散化策略问题实质上归属于最优量化问题的研究范畴。显然， 均匀离散化布点方式并不是最优的方案，其生成的矩阵条件数很大，特别在点数很小的情 况下病态特性表现尤其明显。因而在有限离散化点数的条件下，对磁化过程进行最优量化 (最优离散化)研究显得十分必要。 本发明的最优量化方法是在Lloyd-Max最优量化方法基础上做的改进。在 Lloyd-Max最优量化方法中，若整个量化(离散化)区间划分为Z个间隔，& (i = 1，2，…， Z)为离散化后的输出信号，即量化器输入信号x落在Xi与xi+1之间时量化器输出电平为Hi， 其中任意一个值小于其相邻的后一个值即& < Hi+1，HZ+1 = + c ，Xi < Xi+i，Xi = - c ，Xz+i =+①。则其均方误差o 2的定义为表达式(3)
"2 = 1> [x - //, J2 = ￡广(x - )2 p(;c)rfx
/<formula>formula see original document page 6</formula> 其中，p(x)为量化器输入信号x的概率密度函数。 —般而言，Lloyd-max方法是一种常用的最优量化方法。若使式(3)给出的o 2取 最小值，则必要条件是(4a)和(4b): &2
<formula>formula see original document page 6</formula>
显然，对于不同信号处的误差，前述Lloyd-max方法累加的权重相同。然而，磁化 曲线的粒径分布函数求解的误差基本上集中在小磁场激励情况下，即小场下的磁矩误差对 于粒径估计的影响不容忽略。因而，本发明在Lloyd-max误差度量(x-H》2下提出一种相对
, 、2
X —& )的评价方法，以突出小场激励情况磁矩对于误差的贡献，即将式(3)改写为
<formula>formula see original document page 6</formula>
<formula>formula see original document page 7</formula> <formula>formula see original document page 7</formula>(6b) 与Lloyd-max方法一样，式(6a)与(6b)在一般情况下只能通过迭代方法求解。假 定信号为对称分布，故只需计算xX)的值。设迭代次数为q(q二 1，2，3，…)，o q2为第 q次迭代时由(5)式计算出的02的值，则式(6a)与(6b)的基本求解步骤可以参考如下的 Uoyd_max迭代法 (al)初始化所有的Hji = 1，2，…，Z) ， q = 1 ;
(a2)由式(6a)计算出所有Xi(i = 2， 3，…，Z); (a3)根据求出的Xi(i = 2，3，…，Z)，由式(6b)的计算结果更新所有的Hi (i =
1，2，…，Z); (a4)由式(5)计算o q2 ; (a5)若^ < S ( e为给定容许误差阈值，取5%以下)，则停止；否则q = q+l，转到 (a2)继续计算。 由以上迭代计算可求出H2…Hz}。从而得到最优量化的量化级数，即励磁磁 场Hi(i二l…Z)的取值。图3给出了励磁磁场取样点数Z二30点时，Hi的最优量化级数结果。 2)确定取样点位置后，利用振动磁强计(VSM)获取磁纳米粒子胶体溶液的离散磁 化曲线M(H》。 3)依据离散磁化曲线M(Hi)，采用SVD方法进行矩阵方程近似求解以获得MNP粒 径分布曲线f(j)。 方程式(2)改写成矩阵方程形式(7)
M(i) = A(i， j)f(j)而^(/，_/) = //。Mrf ; " 34/i。Md JZ> 3A /4r〕AZ)), = 1…Z， = 1…W (7)
6 、6 / 乂 其中A(i， j)完全取决于磁动力学过程的物理学原理(后续表达式中A(i， j)简
写为矩阵A)，M(i)为磁化曲线，f(j)表示纳米粒子的粒度分布函数，均具有非负参数特性。
粒度分布函数f (j)为唯一的未知项，因而纳米粒子粒度分布测量问题转化非负矩阵方程
求解问题。对于VSM测试(Lake Shore7410)获得的磁化曲线，可用奇异值分解(Singular
value decomposition, SVD)法进行求解。具体为首先对矩阵A的奇异值分解(SVD)法求
解，即矩阵A按照 A = USV' (8) 这里U和V均是正交矩阵，而S则是对角矩阵；然后就是在SVD分解的基础上进行 方程求解，即 x = A+b = VS—b。 上述求解过程可采用MATLAB的SVD工具进行求解。 4)对本发明改进的离散化策略的性能测试矩阵计算理论研究认为，病态特性是决定离散化后获得的矩阵方程求解精度的重要参数。因而，对激励磁场的离散化策略进行 优化，可以降低矩阵的条件数，从而提高对信号细节的分辨能力。同时，条件数还可用于评 价离散化策略的性能。具体测试方式为 将纳米粒子直径D的范围确定在0 lOOnm，粒径离散化步长A D」为0. lnm，测试 温度为25摄氏度，饱和磁矩为65emu/g。激励磁场范围为0 20000Gauss。通过上述给定 的参数以及激励磁场&的离散化数值，由式(7)得到矩阵A。并设定SVD计算中奇异值数 量为7 IO，采用MATLAB中的SVD工具求解最大奇异值与最小奇异值之间的比值，从而得 到条件数。 图4给出了 CI C4分别表示奇异值数量为7 10时矩阵A的条件数的变化趋 势。从图4可以看出，条件数在改进的最优量化策略下单调降低，说明改进算法实现了预期 目标。条件数的降低有助于提高矩阵方程的求解精度。图4中C4也就是10个最大奇异值 算法下还存在奇异值不存在(不连续)的情形，也就是意味着在该计算精度下奇异值计算 的过程参量超出了 MATLAB的计算精度而无法进行计算。然而在改进离散化策略以后，这种 现象消失了 。图4中C4相对于条件数初始值降低了约5倍。 实例利用VSM(Lake Shore 7410)对某公司生产的EMGllll磁纳米粒子胶体溶液 进行测试获得的磁化曲线，本次测试采用30点最优量化级数的粒径估计结果如图5和图6 所示。图5和图6的结果表明具有较好的大粒径分辨能力。具体表现为两点，首先是求解 结果基本消除了负数。更为重要的是，由于在大颗粒粒径求解误差的进一步降低，虚假震荡 信号的得到了抑制。因而大颗粒的粒径分布信号更为突出，图5中粒径分布函数在6. 3nm 与14nm附近表现出峰值特征。这一结果在以前是无法直接观察的。如果说没有粘连的粒 子称为一次粒子，那么两个粒子粘连在一起可称为二次粒子。 图6中SI与S2表示100点，S3表示30点离散化策略下的粒径估计结果，其胶体 浓度分别为原始溶液稀释100倍，250倍与40倍。图中粒径分布函数均为相对于最大值的 归一化曲线。图6的结果说明在13nm至14nm之间表现出拐点，可以认为是二次粒子的表 现。 一般而言，6.3nm附近的峰值可以认为是一次粒子的峰值。然而14nm附近的峰值则值 得思考，如果可以排除是虚假信号以后，则或许可以认为是磁纳米粒子粘连的结果。只是 13-14nm稍稍大于6. 3nm的两倍，这一点是否意味着二次粒子的形成是沿着磁化方向直接 粘连的，而且较大的粒子更粘连的几率更大，值得从统计物理角度进行更为精细的研究。结 果表明，采用本发明进一步抑制了虚假振荡，发现了蕴藏于粒度分布函数中的二次粒子的 信息，从而得到了更为精确的估计结果。
权利要求
一种磁性纳米粒子的粒径表征方法，具体为首先确定离散磁化曲线的取样点Hi，i＝1…Z，取样点数Z≥21，再获取磁纳米粒子胶体溶液的离散磁化曲线M(Hi)，最后依据离散磁化曲线求解获取粒径分布曲线；其中，离散磁化曲线的取样点Hi，按照如下方式确定(a1)初始化Hi，满足Hi＜Hi+1，Hz+1＝+∞，x1＝-∞，xZ+1＝+∞；(a2)计算 <mrow><msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi></msub><mo>=</mo><mfrac> <mrow><msub> <mrow><mn>2</mn><mi>H</mi> </mrow> <mrow><mi>j</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> </mrow></msub><msub> <mi>H</mi> <mi>j</mi></msub> </mrow> <mrow><msub> <mi>H</mi> <mrow><mi>j</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> </mrow></msub><mo>+</mo><msub> <mi>H</mi> <mi>j</mi></msub> </mrow></mfrac><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>Z</mi><mo>;</mo> </mrow>(a3)更新 <mrow><msub> <mi>H</mi> <mi>i</mi></msub><mo>=</mo><mfrac> <mrow><msubsup> <mo>∫</mo> <msub><mi>x</mi><mi>i</mi> </msub> <msub><mi>x</mi><mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn></mrow> </msub></msubsup><msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn></msup><mi>p</mi><mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo></mrow><mi>dx</mi> </mrow> <mrow><msubsup> <mo>∫</mo> <msub><mi>x</mi><mi>i</mi> </msub> <msub><mi>x</mi><mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn></mrow> </msub></msubsup><mi>xp</mi><mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo></mrow><mi>dx</mi> </mrow></mfrac><mo>,</mo> </mrow>p(x)为量化器输入信号x的概率密度函数；(a4)计算 <mrow><msup> <mi>σ</mi> <mn>2</mn></msup><mo>=</mo><munderover> <mi>Σ</mi> <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> </mrow> <mi>Z</mi></munderover><msubsup> <mo>∫</mo> <msub><mi>x</mi><mi>i</mi> </msub> <msub><mi>x</mi><mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn></mrow> </msub></msubsup><msup> <mrow><mo>(</mo><mfrac> <mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><msub> <mi>H</mi> <mi>i</mi></msub> </mrow> <msub><mi>H</mi><mi>i</mi> </msub></mfrac><mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn></msup><mi>p</mi><mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo></mrow><mi>dx</mi><mo>;</mo> </mrow>(a5)若σ2＜容许误差阈值ε，则结束；否则返回步骤(a2)。
2.根据权利要求1所述的种磁性纳米粒子的粒径表征方法，其特征在于，21《Z《50t
全文摘要
本发明公开一种磁性纳米粒子的粒径表征方法，在对分析模型的磁化曲线进行傅里叶分析的基础上，得出在给定容许误差下表征磁化曲线所需的最小离散化点数，然后在劳埃德-马克斯Lloyd-Max最优量化方法的基础上提出了一种基于误差加权的最优量化方法，将其应用在根据磁纳米粒子的磁化数值方程求解粒径分布函数的问题上，可降低矩阵方程的条件数，从而提高求解精度。
文档编号G01N15/02GK101726453SQ20091027318
公开日2010年6月9日 申请日期2009年12月10日 优先权日2009年12月10日
发明者刘文中, 向青, 杨光, 钟景 申请人:华中科技大学
技术领域：
本发明涉及纳米测试技术领域，具体涉及一种磁性纳米粒子的粒径表征方法。
背景技术：
磁纳米粒子(magnetic nanoparticles，简称MNP)采用1 100nm尺度的磁性 微粒胶体作为新一代分子生物标记与控制技术，为活体内特定生物事件的远程控制提供可 能。然而，纳米尺度信息获取的特别之处在于海森堡测不准效应逐渐显现，测量结果表现为 分布函数而非一个固定的量。 一般而言，分布函数往往通过统计过程而获得，这就意味着高 精度与实时性之间的平衡。原子力显微镜(AFM)、透射电子显微镜(TEM)为代表的经典力 学、光学统计纳米测试技术说明，目前为止基于统计方式方法的粒径表征技术尚不具备在 线实时测试能力。 基于磁共振成像技术的经验，研究人员认为磁学测量方法具备在复杂介质条件下 的远程测控能力，或将为磁纳米粒子在线实时检测提供技术可行性。基于这一认识，研究 人员对磁纳米粒子的磁表征技术进行了深入研究。德国耶拿大学的波科夫(D.V.Berkov) 教授率先将磁学测试技术应用于MNP粒径分布表征，他将粒径分布函数作为磁化模型矩阵 方程的一个未知变量，进而采用矩阵奇异值(Singular Value Decomposition, SVD)求逆 的思路进行求解，直接获得整体粒径分布信息。由于Berkov等人对磁化曲线矩阵方程的 不适定特性认识不足，求解结果在局部出现了较为严重的虚假震荡信号。随后，日本九州 大学的圆福敬二 (Keiji Enpuku)采用交流磁化率的方法对溶液中的磁纳米粒子标记物进 行粒径分布函数的估计，并对该方法的估计结果与动态光散射(optical dynamic light scattering)的结果进行了比较，认为其与SVD方法吻合较好，然而该方法依然没有解决甚 至没有提及虚假震荡问题。发明人在之前的研究中已发现了 SVD方法在小粒径估计上一致 性较好，而虚假震荡往往出现在大粒径估计上，但也一直没有找到有效处理办法。虚假震荡 成为进一步提高SVD粒径估计测量上限的障碍。客观存在的测量误差、有限计算精度与时 间响应速度等等信息的不确定性，造成粒径分布测量问题中的虚假震荡。然而，到底是哪种 因素起主要作用，以及是否可以通过优化的方法得到改善，这一类问题尚未得到明确的结 论。
发明内容
本发明的目的在于提供一种磁纳米粒子粒径表征方法，克服现有技术采用奇异值 分解方法求解粒径分布时带来的虚假振荡现象，并发现蕴藏于粒径分布函数中的二次粒子 信息，从而提高粒径的表征精度。
—种磁性纳米粒子的粒径表征方法，具体为首先确定离散磁化曲线的取样点Hp i = 1…Z，取样点数Z^21，再获取磁纳米粒子胶体溶液的离散磁化曲线M(Hi)，最后依据离 散磁化曲线求解获取粒径分布曲线；其中，离散磁化曲线的取样点Hi，按照如下方式确定
(al)初始化Hi，满足& < Hi+1， Xl = - °o ， xz+1 = + oo ;
(a2)计算 <formula>formula see original document page 4</formula> (a3)更新A = ;~ ， p (x)为量化器输入信号x的概率密度函数；
丄 (a4)计算<formula>formula see original document page 4</formula> (a5)若o 2 <容许误差阈值e ，则结束；否则返回步骤(a2)。 本发明的技术效果体现在本发明通过对磁纳米粒子磁化曲线进行傅里叶分析，
得到给定容许误差条件下表征磁化曲线所需的最小离散化点数，然后依据改进的最优量化
理论所得到的离散化策略，降低郎之万超顺磁磁化数值方程的条件数，从而进一步抑制不
适定特性引起的虚假振荡信号，使得首次从粒径分析的角度发现了二次粒子的粒径信息及
其在不同浓度中的分布状态。
图1为本发明的流程示意图。 图2为磁化曲线的频域特性示意图，其中图2(a)为激励磁场离散化步长为 0.01Gauss时磁化曲线的幅频特性示意图，图2(b)为图2(a)中曲线对最大值的归一化曲线 结果示意图，图2(c)为激励磁场离散化步长为0. OlGauss时磁化曲线的相频特性结果示意 图。 图3为磁化曲线30点离散化的最优量化求解结果示意图，其中图3(a)为30级递 减量化级数中的第30、29、28、27、26级以及第21、16、11、1级，图3 (b)为30级递减量化过 程中的第5、4、3、2与1级。 图4为离散化优化过程的矩阵A条件数的变化示意图。
图5为实施例粒径分布结果对比示意图。
图6为实施例粒径分布结果对比示意图。
具体实施例方式
本发明在对分析模型的磁化曲线进行傅里叶分析的基础上，得出在给定容许误差 下表征磁化曲线所需的最小离散化点数。然后在劳埃德-马克斯(Lloyd-Max)最优量化方 法的基础上提出了一种基于误差加权的最优量化方法，将其应用在根据磁纳米粒子的磁化 数值方程求解粒径分布函数的问题上，可降低矩阵方程的条件数，从而提高求解精度。参照 图l，具体步骤为 1)选取离散磁化曲线的取样点Hi， i = 1…Z。
1. 1)取样点数的确定
1. 1. 1)建立分析模型 分析模型为具有对数正态分布的MNP粒径分布函数，具体可分为两组其一是在 固定粒径分布函数分布方差为0. 3的基础上，根据现有所生产的磁纳米粒子的粒径大小， 选取粒径均值为7. 6nm， 12nm与18nm ;其二是在固定均值7. 6nm的基础上，方差分别设定为0. 3、0. 5与0. 8。 1. 1. 2)分析模型磁化曲线的频域磁性物理中常研究的磁化曲线服从表达式(1)
;r￡>3
M(/0〈Z(Ai/)^"/(D)必 (1)
其中L()表示郎之万方程，D表示纳米粒子直径，f()表示粒径分布函数，H为外加磁场。 在方程(1)中将粒径分布函数f (D)与励磁磁场H分别离散化，则磁化曲线响应方 程变为方程式(2) M(//,) = |>。M^Z)/4//。Md》/// /(￡>》A￡)"/ = l...Z (2) 其中N代表粒度分布函数的取样点数，Z是励磁磁场Hi的取样点数，P。代表真空 的磁导率，Md代表材料的饱和磁矩，为圆周率，Dj为粒径的第j个取样值，k为玻尔兹曼 常数，T为绝对温度，ADj为粒径的离散化步长。 对于方程(2)所描述的磁化过程，激励磁场H的离散化策略决定了测试时间的长 短也就是测试的实时性，更直接决定了M(H)曲线信息获取的质量。信息学研究指出，离散 化过程的采样问题通常可归结到仙农采样定理。为了实现这一目的，将步骤l. 1. 1)建立的 分析模型的两组粒径分布函数分别代入方程(2)，对方程(2)进行傅里叶变换，得到磁化曲 线的频谱信息，如图2所示。其中Al， A2， A3分别表示磁纳米粒子粒径分布函数方差均为 0. 3，而均值分别为7. 6nm， 12nm， 18nm时的磁化曲线的频谱，Bl， B2分别表示磁纳米粒子粒 径分布函数均值均为7. 6nm，而方差分别为0. 5和0. 8时的磁化曲线的频谱。
从图2的频谱分析认为，如果对磁化过程进行21点的离散化，其频谱信号幅值已 经衰减到最大值的5% ;30点时信号幅值已经衰减到最大值的3. 5% ;100点时信号幅值已 经衰减到最大值的约1%。当然，还可以看出统计的效果，在大于50点以后X轴与对数坐 标Y轴基本上服从线性变化，也就是符合误差统计理论中关于方差与采样点数的二次方根 成反比这一理论预期。容许误差一般在5%以下，因此采样点数应不少于21点，考虑到采样 点数的多少决定了测试时间的长短，推荐取21 50点。 从归一化曲线看来，不同粒径分布的磁化曲线最终的频谱基本一致，这说明这一 类磁化曲线的分布具有相同的特征。此外，图2(c)表明磁化曲线的相频特征也基本相同。 频域的特征相同意味着"时域"也具备某种相同的特征。因此，这暗示着对于不同的粒径分 布的MNP磁化曲线可以采用一种统一的离散化策略。
1.2)取样点位置确定。 对磁化曲线的离散化策略问题实质上归属于最优量化问题的研究范畴。显然， 均匀离散化布点方式并不是最优的方案，其生成的矩阵条件数很大，特别在点数很小的情 况下病态特性表现尤其明显。因而在有限离散化点数的条件下，对磁化过程进行最优量化 (最优离散化)研究显得十分必要。 本发明的最优量化方法是在Lloyd-Max最优量化方法基础上做的改进。在 Lloyd-Max最优量化方法中，若整个量化(离散化)区间划分为Z个间隔，& (i = 1，2，…， Z)为离散化后的输出信号，即量化器输入信号x落在Xi与xi+1之间时量化器输出电平为Hi， 其中任意一个值小于其相邻的后一个值即& < Hi+1，HZ+1 = + c ，Xi < Xi+i，Xi = - c ，Xz+i =+①。则其均方误差o 2的定义为表达式(3)
"2 = 1> [x - //, J2 = ￡广(x - )2 p(;c)rfx
/<formula>formula see original document page 6</formula> 其中，p(x)为量化器输入信号x的概率密度函数。 —般而言，Lloyd-max方法是一种常用的最优量化方法。若使式(3)给出的o 2取 最小值，则必要条件是(4a)和(4b): &2
<formula>formula see original document page 6</formula>
显然，对于不同信号处的误差，前述Lloyd-max方法累加的权重相同。然而，磁化 曲线的粒径分布函数求解的误差基本上集中在小磁场激励情况下，即小场下的磁矩误差对 于粒径估计的影响不容忽略。因而，本发明在Lloyd-max误差度量(x-H》2下提出一种相对
, 、2
X —& )的评价方法，以突出小场激励情况磁矩对于误差的贡献，即将式(3)改写为
<formula>formula see original document page 6</formula>
<formula>formula see original document page 7</formula> <formula>formula see original document page 7</formula>(6b) 与Lloyd-max方法一样，式(6a)与(6b)在一般情况下只能通过迭代方法求解。假 定信号为对称分布，故只需计算xX)的值。设迭代次数为q(q二 1，2，3，…)，o q2为第 q次迭代时由(5)式计算出的02的值，则式(6a)与(6b)的基本求解步骤可以参考如下的 Uoyd_max迭代法 (al)初始化所有的Hji = 1，2，…，Z) ， q = 1 ;
(a2)由式(6a)计算出所有Xi(i = 2， 3，…，Z); (a3)根据求出的Xi(i = 2，3，…，Z)，由式(6b)的计算结果更新所有的Hi (i =
1，2，…，Z); (a4)由式(5)计算o q2 ; (a5)若^ < S ( e为给定容许误差阈值，取5%以下)，则停止；否则q = q+l，转到 (a2)继续计算。 由以上迭代计算可求出H2…Hz}。从而得到最优量化的量化级数，即励磁磁 场Hi(i二l…Z)的取值。图3给出了励磁磁场取样点数Z二30点时，Hi的最优量化级数结果。 2)确定取样点位置后，利用振动磁强计(VSM)获取磁纳米粒子胶体溶液的离散磁 化曲线M(H》。 3)依据离散磁化曲线M(Hi)，采用SVD方法进行矩阵方程近似求解以获得MNP粒 径分布曲线f(j)。 方程式(2)改写成矩阵方程形式(7)
M(i) = A(i， j)f(j)而^(/，_/) = //。Mrf ; " 34/i。Md JZ> 3A /4r〕AZ)), = 1…Z， = 1…W (7)
6 、6 / 乂 其中A(i， j)完全取决于磁动力学过程的物理学原理(后续表达式中A(i， j)简
写为矩阵A)，M(i)为磁化曲线，f(j)表示纳米粒子的粒度分布函数，均具有非负参数特性。
粒度分布函数f (j)为唯一的未知项，因而纳米粒子粒度分布测量问题转化非负矩阵方程
求解问题。对于VSM测试(Lake Shore7410)获得的磁化曲线，可用奇异值分解(Singular
value decomposition, SVD)法进行求解。具体为首先对矩阵A的奇异值分解(SVD)法求
解，即矩阵A按照 A = USV' (8) 这里U和V均是正交矩阵，而S则是对角矩阵；然后就是在SVD分解的基础上进行 方程求解，即 x = A+b = VS—b。 上述求解过程可采用MATLAB的SVD工具进行求解。 4)对本发明改进的离散化策略的性能测试矩阵计算理论研究认为，病态特性是决定离散化后获得的矩阵方程求解精度的重要参数。因而，对激励磁场的离散化策略进行 优化，可以降低矩阵的条件数，从而提高对信号细节的分辨能力。同时，条件数还可用于评 价离散化策略的性能。具体测试方式为 将纳米粒子直径D的范围确定在0 lOOnm，粒径离散化步长A D」为0. lnm，测试 温度为25摄氏度，饱和磁矩为65emu/g。激励磁场范围为0 20000Gauss。通过上述给定 的参数以及激励磁场&的离散化数值，由式(7)得到矩阵A。并设定SVD计算中奇异值数 量为7 IO，采用MATLAB中的SVD工具求解最大奇异值与最小奇异值之间的比值，从而得 到条件数。 图4给出了 CI C4分别表示奇异值数量为7 10时矩阵A的条件数的变化趋 势。从图4可以看出，条件数在改进的最优量化策略下单调降低，说明改进算法实现了预期 目标。条件数的降低有助于提高矩阵方程的求解精度。图4中C4也就是10个最大奇异值 算法下还存在奇异值不存在(不连续)的情形，也就是意味着在该计算精度下奇异值计算 的过程参量超出了 MATLAB的计算精度而无法进行计算。然而在改进离散化策略以后，这种 现象消失了 。图4中C4相对于条件数初始值降低了约5倍。 实例利用VSM(Lake Shore 7410)对某公司生产的EMGllll磁纳米粒子胶体溶液 进行测试获得的磁化曲线，本次测试采用30点最优量化级数的粒径估计结果如图5和图6 所示。图5和图6的结果表明具有较好的大粒径分辨能力。具体表现为两点，首先是求解 结果基本消除了负数。更为重要的是，由于在大颗粒粒径求解误差的进一步降低，虚假震荡 信号的得到了抑制。因而大颗粒的粒径分布信号更为突出，图5中粒径分布函数在6. 3nm 与14nm附近表现出峰值特征。这一结果在以前是无法直接观察的。如果说没有粘连的粒 子称为一次粒子，那么两个粒子粘连在一起可称为二次粒子。 图6中SI与S2表示100点，S3表示30点离散化策略下的粒径估计结果，其胶体 浓度分别为原始溶液稀释100倍，250倍与40倍。图中粒径分布函数均为相对于最大值的 归一化曲线。图6的结果说明在13nm至14nm之间表现出拐点，可以认为是二次粒子的表 现。 一般而言，6.3nm附近的峰值可以认为是一次粒子的峰值。然而14nm附近的峰值则值 得思考，如果可以排除是虚假信号以后，则或许可以认为是磁纳米粒子粘连的结果。只是 13-14nm稍稍大于6. 3nm的两倍，这一点是否意味着二次粒子的形成是沿着磁化方向直接 粘连的，而且较大的粒子更粘连的几率更大，值得从统计物理角度进行更为精细的研究。结 果表明，采用本发明进一步抑制了虚假振荡，发现了蕴藏于粒度分布函数中的二次粒子的 信息，从而得到了更为精确的估计结果。
权利要求
一种磁性纳米粒子的粒径表征方法，具体为首先确定离散磁化曲线的取样点Hi，i＝1…Z，取样点数Z≥21，再获取磁纳米粒子胶体溶液的离散磁化曲线M(Hi)，最后依据离散磁化曲线求解获取粒径分布曲线；其中，离散磁化曲线的取样点Hi，按照如下方式确定(a1)初始化Hi，满足Hi＜Hi+1，Hz+1＝+∞，x1＝-∞，xZ+1＝+∞；(a2)计算 <mrow><msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi></msub><mo>=</mo><mfrac> <mrow><msub> <mrow><mn>2</mn><mi>H</mi> </mrow> <mrow><mi>j</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> </mrow></msub><msub> <mi>H</mi> <mi>j</mi></msub> </mrow> <mrow><msub> <mi>H</mi> <mrow><mi>j</mi><mo>-</mo><mn>1</mn> </mrow></msub><mo>+</mo><msub> <mi>H</mi> <mi>j</mi></msub> </mrow></mfrac><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>Z</mi><mo>;</mo> </mrow>(a3)更新 <mrow><msub> <mi>H</mi> <mi>i</mi></msub><mo>=</mo><mfrac> <mrow><msubsup> <mo>∫</mo> <msub><mi>x</mi><mi>i</mi> </msub> <msub><mi>x</mi><mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn></mrow> </msub></msubsup><msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn></msup><mi>p</mi><mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo></mrow><mi>dx</mi> </mrow> <mrow><msubsup> <mo>∫</mo> <msub><mi>x</mi><mi>i</mi> </msub> <msub><mi>x</mi><mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn></mrow> </msub></msubsup><mi>xp</mi><mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo></mrow><mi>dx</mi> </mrow></mfrac><mo>,</mo> </mrow>p(x)为量化器输入信号x的概率密度函数；(a4)计算 <mrow><msup> <mi>σ</mi> <mn>2</mn></msup><mo>=</mo><munderover> <mi>Σ</mi> <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn> </mrow> <mi>Z</mi></munderover><msubsup> <mo>∫</mo> <msub><mi>x</mi><mi>i</mi> </msub> <msub><mi>x</mi><mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn></mrow> </msub></msubsup><msup> <mrow><mo>(</mo><mfrac> <mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><msub> <mi>H</mi> <mi>i</mi></msub> </mrow> <msub><mi>H</mi><mi>i</mi> </msub></mfrac><mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn></msup><mi>p</mi><mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo></mrow><mi>dx</mi><mo>;</mo> </mrow>(a5)若σ2＜容许误差阈值ε，则结束；否则返回步骤(a2)。
2.根据权利要求1所述的种磁性纳米粒子的粒径表征方法，其特征在于，21《Z《50t
全文摘要
本发明公开一种磁性纳米粒子的粒径表征方法，在对分析模型的磁化曲线进行傅里叶分析的基础上，得出在给定容许误差下表征磁化曲线所需的最小离散化点数，然后在劳埃德-马克斯Lloyd-Max最优量化方法的基础上提出了一种基于误差加权的最优量化方法，将其应用在根据磁纳米粒子的磁化数值方程求解粒径分布函数的问题上，可降低矩阵方程的条件数，从而提高求解精度。
文档编号G01N15/02GK101726453SQ20091027318
公开日2010年6月9日 申请日期2009年12月10日 优先权日2009年12月10日
发明者刘文中, 向青, 杨光, 钟景 申请人:华中科技大学
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